Matrices Conceptos básicos

Matrices Buscando formas para describir situaciones en matemáticas y economía, llegamos al estudio de arreglos rectangulares de números. Por ejemplo, considere el sistemas de ecuaciones lineales.

Matrices Lo que caracteriza a este sistema son los coeficientes numéricos en la ecuación junto con sus posiciones relativas. Por esta razón, el sistema puede ser descrito el arreglo rectangular

Matrices que es llamado matriz (plural: matrices). Consideraremos a tales arreglos rectangulares como objetos por sí mismos y, se acostumbra encerrarlos entre corchetes. También es común que se utilicen paréntesis ( ). En la representación simbólica de matrices, usaremos letras mayúsculas en negritas como A, B, C, etcétera

Matrices En economía con frecuencia es conveniente utilizar matrices en la formulación de problemas y para exhibir datos. Por ejemplo, un fabricante de los productos A, y C, podría representar las unidades de mano de obra y material involucrados en una semana de producción de estos artículos como se muestra en la tabla siguiente.

Matrices De manera más sencilla, estos datos puede ser representados por la matriz Los renglones de una matriz están numerados de manera consecutiva de arriba hacia abajo, y las columnas están numeradas de manera consecutiva de izquierda a derecha.

Matrices Para la matriz A anterior tenemos Ya que A tiene dos renglones y tres columnas, decimos que A tiene orden, o tamaño, 2 x 3 (se lee "2 por 3"), donde el número de renglones se especifica primero.

Matrices De manera semejante, las matrices tienen órdenes 3 x 3 y 4 x 2, respectivamente.

Matrices Los números en una matriz son llamados entradas o elementos. Para denotar entradas arbitrarias de una matriz, digamos de una de orden 2x3, existen dos métodos comunes. Primero, podemos utilizar letras diferentes

Matrices Segundo, una sola letra se puede usar, digamos, a, junto con doble subíndice apropiado para indicar su posición:

Matrices Para la entrada a 12 se lee "a subíndice uno-dos", o sólo "a uno-dos", el primer subíndice, 1, especifica el renglón y el segundo, 2, la columna en la que aparece la entrada. De manera similar, la entrada a 23 (se lee "a dos-tres") es la que se encuentra en el segundo renglón y la tercera columna. Generalizando, decimos que el símbolo a ¡j denota la entrada en el renglón i y en la columna j.

Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números que consiste en m renglones y n columnas es llamado matriz de m x n o matriz de orden m x n. Para la entrada a ij llamamos a i el subíndice del renglón y a j el subíndice de la columna.

Matrices El número de entradas en una matriz de m x n es mn. Por brevedad, una matriz de m x n puede ser denotada por el símbolo [a ij ] mxn o de manera más sencilla [a ij ] donde el orden se entiende que es el apropiado para el contexto dado. Esta notación sólo indica qué tipos de símbolos son utilizados para denotar la entrada general.

Matrices Una matriz que tiene exactamente un renglón, tal como la matriz de 1x4 es llamada matriz renglón, o vector renglón. Una matriz que consiste en una sola columna tal como la matriz de 5 x 1 es llamada matriz columna, o vector columna

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EJEMPLO 2 Construcción de matrices a.Construir una matriz columna de tres entradas tal que a 21 = 6 y a i1 = 0 en los otros casos.

Matrices b.Si A = [a ij ] tiene orden 3 x 4 y a ij = i + j, encontrar A.

Matrices c.Construir la matriz I de 3 x 3 dado que a 11 = a 22 = a 33 = 1 y a ij = 0 en cualquier otro caso.

Matrices Igualdad de matrices Ahora definimos 10 que significa decir que dos matrices son iguales. Definición Las matrices A = [a ij ] y B = [b ij ] son iguales si y sólo si tienen el mismo orden y a ij = b ij para cada i y cada j (esto es, entradas correspondientes son iguales).

Matrices Una ecuación matricial puede definir un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, suponga que

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Transpuesta de una matriz Si A es una matriz, la matriz formada a partir de A intercambiando sus renglones, sus columnas es llamada la transpuesta de A. Definición La transpuesta de una matriz A de m x n, denotada A T, es la matriz de n x m cuyo i-ésimo renglón es la i-ésima columna de A.

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Y en general

Matrices Una matriz que tiene el mismo número de columnas que de renglones, por ejemplo n renglones y n columnas, es llamada matriz cuadrada de orden n. Esto es, una matriz m x n es cuadrada si y sólo si m = n. Por ejemplo, las matrices son cuadradas con órdenes 3 y 1, respectivamente.

Matrices En una matriz cuadrada de orden n, las entradas a 11, a 22, a 33, …, a mn las cuales están sobre la diagonal "principal" que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha, son llamadas entradas de la diagonal principal, o de forma más sencilla la diagonal principal. Así, en la matriz la diagonal principal consiste en a 11 = 1, a 22 = 5 y a 33 = 9.

Matrices Una matriz cuadrada A es llamada matriz diagonal si todas las entradas que se encuentran fuera de la diagonal principal son cero; esto es, a ij = 0 para i ≠ j. Ejemplos de matrices diagonales son

Matrices Una matriz cuadrada A se dice que es una matriz triangular superior si todas las entradas abajo de la diagonal principal son cero; esto es, a = 0 para i > j. De manera análoga, una matriz A se dice que es una matriz triangular inferior si todas las entradas por arriba de la diagonal principal son cero; esto es, a ij = 0 para i < j.

Matrices Cuando una matriz es triangular superior o triangular inferior, es llamada una matriz triangular. Así, las matrices son matrices triangular superior y triangular inferior, respectivamente, y por tanto son matrices triangulares

Ejercicio 3. 1.Sean: a.Establecer el orden de cada matriz. b.¿Cuáles matrices son cuadradas? c.¿Cuáles matrices son triangulares superiores? ¿Triangulares inferiores? d.¿Cuáles son vectores renglón? e.¿Cuáles son vectores columna?

Ejercicio 3. 3.a 43 4.a 32 5.a 14 6.a 12 7.a 34 8.a 55

Ejercicio 3. En los problemas 10 – 13 encontrar la A T

Ejercicio Sean a.¿Cuáles son matrices diagonales? b.¿Cuáles son matrices triangulares?