INECUACIONES U. D. 6 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

INECUACIONES CUADRÁTICAS U. D. 6.2 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Inecuaciones CUADRÁTICAS Una inecuación de segundo grado o inecuación cuadrática es la que tiene la forma: ax2 + bx + c ≤ 0 , ( o ≥ 0, o > 0, o < 0) Siendo a > 0 siempre. Para resolverlas se hallan las dos raíces, tomada la expresión como una ecuación, x1 y x2 . Luego se factoriza el polinomio característico: (x - x1).( x - x2 ) ≤ 0 ó (x - x1).( x - x2 ) ≥ 0 Y por último se halla el signo de cada factor en cada uno de los siguientes intervalos: (-oo, x1), ( x1 , x2 ) y ( x2, +oo) La solución será un intervalo abierto o cerrado si las raíces halladas, x1 y x2 , pertenecen o no a la solución del sistema. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplos resueltos - + + - - + Resuelve la inecuación: x2 - 5x + 6 ≤ 0 Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = 3 Se factoriza el polinomio: (x - 2).( x - 3 ) ≤ 0 Se halla el signo de cada factor: 1 - oo 2 3 +oo ( x – 2 ) - + + - - + ( x – 3 ) Productos + - + En [ 2, 3 ] el producto es NEGATIVO ( < 0 ), luego Solución = x ε [ 2, 3 ] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

- - + - + + Resuelve la inecuación: x2 + 3x - 10 > 0 Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = - 5 Se factoriza el polinomio: (x - 2).( x + 5 ) > 0 Se halla el signo de cada factor: - oo - 5 2 +oo ( x – 2 ) - - + - + + ( x + 5 ) Productos + - + En (-oo.-5) y en ( 2, +oo) el producto es POSITIVO ( > 0 ), luego Solución = { V x ε R / x ε ( -oo, -5 ) U ( 2, +oo ) } @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

- + - + Resuelve la inecuación: x2 + 2x + 1 < 0 3 Resuelve la inecuación: x2 + 2x + 1 < 0 Se hallan las dos raíces: x1 = -1 , x2 = - 1 Se factoriza el polinomio: (x + 1 ).( x + 1 ) < 0 Se halla el signo de cada factor: - oo - 1 +oo ( x +1 ) - + - + ( x + 1 ) Productos + + No hay ningún intervalo cuyo producto sea NEGATIVO, luego Solución = Ø @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Solución gráfica 1 1.- x2 - 5x + 6 ≤ 0 (x - 2).( x - 3 ) ≤ 0 Se convierte en una función: y = x2 - 5x + 6 Sabemos que es una parábola cóncava. Se halla el vértice: V=(2,5 , – 0,25) Se hallan los cortes con los ejes: x = 2, y = 3  Pc(2, 0) y Pc(3, 0) Se dibuja la parábola. Como indica que y ≤ 0, la solución es la parte de la parábola debajo del eje OX, incluido el 2 y el 3. Solución de los valores de x = [2 , 3] 1 0 1 2 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Solución gráfica 2 2.- x2 + 3x - 10 > 0 (x - 2).( x + 5 ) > 0 Se convierte en una función: y = x2 + 3.x – 10 Sabemos que es una parábola cóncava. Se halla el vértice: V=(1,5 , – 3,25) Se hallan los cortes con los ejes: x = 2, y x = – 5  Pc(2, 0) y Pc(– 5 , 0) Se dibuja la parábola. Como indica que y > 0, la solución es la parte de la parábola por encima del eje OX, sin incluir ni el 2 ni el – 5. Solución de los valores de x = (– oo , – 5) U (2 , oo) 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Solución gráfica 3 3.- x2 + 2x + 1 < 0 (x + 1 ).( x + 1 ) < 0 Se convierte en una función: y = x2 + 2.x + 1 Sabemos que es una parábola cóncava. Se halla el vértice: V=(– 1 , 0) Se hallan los cortes con los ejes: x = – 1  Pc(– 1 , 0), doble o único. Se dibuja la parábola. Como indica que y < 0, la solución es la parte de la parábola por debajo del eje OX, que en este caso es inexistente, por lo cual la inecuación no tiene solución. 3 -2 -1 0 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

- + + + - - + + - - - + Resuelve la inecuación: 4 Resuelve la inecuación: x3 – 5x2 - x + 5 < 0 Se hallan las TRES raíces por Ruffini: x1 = 1 , x2 = - 1 , x3 = 5 Se factoriza el polinomio: (x + 1 ).( x - 1 ).( x – 5) < 0 Se halla el signo de cada factor: - oo - 1 1 5 +oo ( x +1 ) - + + + - - + + ( x - 1 ) - - - + ( x – 5 ) Productos - + - + Solución = ( - oo, - 1 ) U ( 1, 5 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

- + + - - + + + + Resuelve la inecuación: x4 – 1 < 0 Se hallan las CUATRO raíces por Ruffini: x4 – 1 = (x2 + 1).(x2 – 1) = (x + 1).(x – 1).(x2 + 1) x1 = 1 , x2 = - 1 , x3 & x4 = x2 + 1, NO REALES. Se factoriza el polinomio: (x + 1 ).( x – 1).(x2 + 1) < 0 Se halla el signo de cada factor: 5 - oo - 1 1 +oo ( x + 1 ) - + + - - + ( x – 1) + + + ( x2 + 1) Productos + -- + Solución = (– 1 , 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Soluciones gráficas 4.- x3 – 5x2 - x + 5 < 0  (x + 1 ).( x - 1 ).( x – 5) < 0 5.- x4 – 1 < 0  (x + 1 ).( x – 1).(x2 + 1) < 0 4 5 - 1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.