NÚMEROS REALES U.D. 1 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

INTERVALOS U.D. 1.4 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

VALOR ABSOLUTO VALOR ABSOLUTO. Los números irracionales, como √2 , junto con los números racionales, como 4 / 7, forman el conjunto de los números REALES ( R ) El valor absoluto de un número real, x , se designa |x|, y coincide con el número si es positivo o 0, y con su opuesto si es negativo. Ejemplos: |2| = 2 |-3| = 3 | -3/4| = ¾ |- √2| = √2 |√-2| = No existe, puesto que √-2 no es un número real. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROPIEDADES del valor absoluto: 1.- |a| = |-a| Ejemplo: |3| = |-3|  3 = 3 Ejemplo: |4,13| = |- 4,13|  4,13 = 4,13 2.- |a.b| = |a|.|b| Ejemplo: |3.(-2)| = |3|.|-2|  |-6| = 3.2  6 = 6 Ejemplo: |(-3).5| = |-3|.|5|  |-15| = 3.5  15 = 15 3.- |a+b| ≤ |a|+|b| Ejemplo: |3+(-2)| ≤ |3|+|-2|  |1| ≤ 3+2  1 ≤ 5 Ejemplo: |(-5)+(-2)| ≤ |-5|+|-2|  |-7| ≤ 5+2  7 ≤ 7 4.- Si |a|<k, entonces -k < |a| < k Ejemplo: |-2| < 3  - 3 < 2 < 3 Ejemplo: |3| < 5  - 5 < 3 < 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Intervalos sobre la recta real INTERVALOS FINITOS Son unos subconjuntos de la recta real especialmente interesantes y que se emplean mucho. Abierto (a, b) Ejemplo: (-2, 3)  Todos los números entre -2 y 3 Cerrado [a, b] Ejemplo: [-5, -2]  Todos los números entre -5 y -2, incluidos ambos. Semiabierto por la izquierda (a, b] Ejemplo: (- 5, 2]  Todos los números entre -5 y 2, incluido el 2. Semiabierto por la derecha [a, b) Ejemplo: [- 3, 2)  Todos los números entre -3 y 2, incluido el - 3. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Representación sobre R NOMENCLATURA Y REPRESENTACIÓN a < x < b R a b a ≤ x ≤ b R a b a < x ≤ b R a b a ≤ x < b R a b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Intervalos sobre la recta real INTERVALOS INFINITOS o SEMIRRECTAS Estos intervalos dan lugar a semirrectas. (a, + ∞) Ejemplo: (2, + ∞)  Todos los números mayores que 2 [a, + ∞) Ejemplo: [2, + ∞)  Todos los números mayores que 2, incluido el 2. (- ∞, b) Ejemplo: (- ∞, 2)  Todos los números menores que 2 (- ∞, b] Ejemplo: (- ∞, 2]  Todos los números menores que 2, incluido el 2. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Representación sobre R NOMENCLATURA Y REPRESENTACIÓN a < x R a a ≤ x R a x ≤ b R b x < b R b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Intervalos y valor absoluto Sea la expresión: | x | ≤ 5 Sabemos que x puede variar de - 5 a + 5 para que se cumpla la expresión, incluido el – 5 y el + 5. Representados todos los valores de x que cumplen la expresión: - 5 ≤ x ≤ 5 R - 5 + 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Intervalos sobre la recta real Otro ejemplo Sea la expresión: | x – 3 | < 1 Si (x – 3) > 0  queda x – 3 < 1  x < 4 Si (x – 3) < 0  queda – x + 3 < 1  2 < x Vemos que x puede variar de 2 a 4 para que se cumpla la expresión, sin incluir ni el 2 ni el 4. Representados todos los valores de x que cumplen la expresión: 2 < x < 4 R 2 3 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Entornos sobre la recta real Un intervalo de la forma (a-r, a+r) se llama entorno abierto de centro el punto a y radio r. Se designa por E(a, r) y está formado por todos los puntos cuya distancia al centro, a, es menor que el radio. Un intervalo de la forma [a-r, a+r] se llama entorno cerrado de centro el punto a y radio r. Se designa por E[a, r] y está formado por todos los puntos cuya distancia al centro, a, es menor o igual que el radio. E(3 , 1) E[5’5 , 0’75] R 2 3 4 4,75 5,5 6,25 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplos de entornos Ejercicio múltiple para completar con sus equivalencias ENTORNOS VALOR ABSOLUTO INTERVALOS E(5, 3) ↔ |x – 5| < 3 E(- 2, 3) ↔ |x + 2| < 3 E[3, 7] ↔ |x – 3| ≤ 7 E(- 7, 5) ↔ |x + 7| ≤ 5 E[-1, 3] ↔ [-4, 2] E(-3’5, 1’5) ↔ (- 5, - 2) E[2, 5’5] ↔ [ – 3’5 , 7’5] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.