Simulación Matemática DAVID PINZÓN ULLOA

Métodos de Generación de Números Aleatorios

Generación de Números “Aleatorios” Uniformes

Números aleatorios  Para poder generar entradas estocásticas (probabilísticas) para un modelo de simulación, se debe contar con un generador de números “aleatorios”.  Con estos métodos de generación de variables aleatorias se pueden simular las entradas incontrolables para un modelo de simulación.

Números “aleatorios”  Inicialmente los números “aleatorios” se generaban en forma manual o mecánica  También existen métodos aritméticos que permiten generan un gran conjunto de números “aleatorios”.

Números “aleatorios”  Existen además Tablas de números “aleatorios” uniformes.

Números aleatorios  También existen métodos aritméticos que permiten generan un gran conjunto de números aleatorios, pero el advenimiento de la computadora ha permitido crear generadores que permitan obtener de manera sucesiva todo los números aleatorios que se requieran

Números “aleatorios”  Estos algoritmos producen una sucesión de números que se asemeja a la de una sucesión de realizaciones de variables aleatorias iid U(0, 1), aunque realmente no lo sea.  Es por ello que este tipo de números se denominan pseudo-aleatorios y el algoritmo que los produce se llama generador de números pseudo-aleatorios.

Números “aleatorios”  Un proceso iterativo Semilla ALGORITMO Resultado

Números “aleatorios”  Un proceso iterativo Entrada ALGORITMO Número pseudo-aleatorio

NÚMEROS “ALEATORIOS”  ¿Qué pasa cuándo X n+1 ya ha sido un número generado anteriormente? Todo la sucesión de números siguientes ya habrán parecido o habrán sido generados por el algoritmo. Se repite el ciclo

NÚMEROS “ALEATORIOS”  ¿Qué se podría decir del algoritmo (o su parametrización) cuándo el ciclo es corto? El algoritmo no es recomendable

NÚMEROS ALEATORIOS UNIFORMES (RECTANGULARES)  CARACTERÍSTICAS  Uniformemente Distribuidos.  Estadísticamente independientes  Reproducibles  Período largo (sin repetición dentro de una longitud determinada de la sucesión)  Generados a través de un método rápido  Generados a través de un método que no requiera mucha capacidad de almacenamiento de la computadora.

NÚMEROS ALEATORIOS UNIFORMES  Generados a través de una relación de recurrencia  NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS  Técnica determinística.

NÚMEROS “ALEATORIOS” Semilla: Es el valor utilizado para comenzar la secuencia

Números Aleatorios  Existen algunos métodos que tienen su aplicación en la criptografía.  De los métodos tradicionales aplicados, más conocidos se tienen:  Método de cuadrados medios  Método de congruenciales lineales

Números Aleatorios Uniformes  La utilidad de generar números aleatorios uniformes [0,1] radica en el hecho que nos permite generar números aleatorios que pertenecen a otro tipo de distribución de probabilidad. Resultado proviene de :  Teorema: Si X es una variable aleatoria con una función de distribución F(x), entonces la variable aleatoria U= F(X) tiene una distribución Uniforme [0,1]

Método de los cuadrados medios  Propuesto por John Von Neumann y Nicholas Metropolis.  Algoritmo  Tomar al azar una semilla X 0.  El número debe ser de 2n cifras  Elevar al cuadrado dicho número.  En algunos casos se añaden ceros a la izquierda de tal manera que resulte en un número de 4 cifras  Tomar 2n cifras centrales  Se divide el número para 2 y se toman n cifras a la izquierda y n cifras a la derecha incluyendo la cifra de partición.  El nuevo número aleatorio uniforme se obtiene colocando un punto decimal delante de las 2n cifras.

Método de los cuadrados medios  Ejemplo:

Método de los cuadrados medios  Inconvenientes:  Fuerte tendencia a degenerar rápidamente a 0  El ciclo suele ser corto.

GENERADORES CONGRUENCIALES LINEALES  Los generadores congruenciales lineales generan una secuencia de números pseudoaleatorios en la cual el próximo número pseudoaleatorio es determinado a partir del número generado anteriormente, es decir:  el número pseudoaleatorio X n es derivado a partir del número pseudoaleatorio X n-1

GENERADORES CONGRUENCIALES LINEALES 1. RELACIONES DE RECURRENCIA a) CONGRUENCIAL MULTIPLICATIVO b) CONGRUENCIAL MIXTO

Congruencial Multiplicativo

m: Número primo grande Esta relación de recurrencia nos dice que X n+1 es el residuo de dividir aX n entre m

Congruencial Mixto La relación de recurrencia viene dada por:

Congruencial Mixto  La relación de recurrencias está completamente caracterizada por los siguientes parámetros:  a,b,X 0 y m  Se puede comprobar que:

Congruencial Mixto  Primera objeción:  En realidad la sucesión no es en absoluto aleatoria. ¿Por qué?

Congruencial Mixto La relación de recurrencia viene dada por: Esta relación de recurrencia nos dice que X n+1 es el residuo de dividir aX n + c entre m

Congruencial Mixto La relación de recurrencia viene dada por: ¿Cuántos números diferentes pueden generarse? m números [0,1,…,m-1]

Congruencial Mixto