UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE BOLIVAR COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADO POSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS. V COHORTE         MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACION CODIGO # 806-3120 SECCION A CAPITULO VI PROF. HUGAR CAPELLA

EXPONENCIALES Y LOGARITMOS       .      EXPONENCIALES Y LOGARITMOS CAPITULO VI FUNCION EXPONENCIAL Sea   un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia  se llama función exponencial de base a y exponente x.  PROPIEDADES DE LOS EXPONENCIALES Sean a y b reales positivos y x,y Є R   ,entonces:   

GRAFICA DE LA FUNCION EXPONENCIAL

Función exponencial natural Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284….,la función exponencial   , se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) =   .   Tabla A.3.3 texto

APLICACIÓN: FUNCION EXPONENCIAL NATURAL LA POBLACION DE CIERTA NACION DESARROLLADA SE SABE QUE ESTA DADA (En MILLONES DE HABITANTES) POR LA FÓRMULA En donde t es el numero de años transcurridos a partir de 1980. Determine la población en el año 2000 y la población proyectada para el 2010, suponiendo que la formula tiene validez hasta entonces. Solución: En el año 2000 han transcurrido 20 años La proyectada para el año 2010.

FUNCION LOGARITMO Definición de logaritmo : Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número. que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " . Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente , hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos. La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

FUNCION LOGARITMO NATURAL Logaritmos Decimales : Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base. Logaritmos Neperianos : Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.

APLICACIÓN DE LOGARITMOS Ejemplo. Construya la grafica de la función logaritmo de base 2 De acurdo a la definición: y = log2 x entonces x = 2Y Y -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5 2 X 0,25 0,350 0,707 1,414 2,828 4

APLICACIÓN: INTERÉS COMPUESTO. INVERSIONES La suma de BsF 200 se invierte a un interés compuesto anual de 5%. Calcule el valor de la inversión después de 10 años. Sea P una suma invertida a una tasa de interés R por ciento anual. En el primer año Segundo año el interés es En n año valor = P(1+i)n valor = 200( 1+0,05)10 = 325,78

Aplicación: inversiones Si la incógnita es n ¿Cuanto tardará la inversión en incrementar a BsF 250.? 200 (1,05)n= 250 (1,05)n = 250/200 log10(1,05)n= log10(1,25) por propiedades de logaritmo n(log10(1,05)= log10(1,25) n = log10(1,25)/log10(1,05) n = 4,57 es decir 5 años en incrementar de BsF 200 a BsF 250 al 5% de interés anual.

VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO SEA Q EL VALOR PRESENTE Y P EL VALOR DEL FUTURO INGRESO P = Q ( 1+i )n i= R/100 R tasa de interés Q = P/ ( 1+i )n

Aplicación: Q y P UN HOMBRE DE 45 AÑOS ADQUIERE UNA POLIZA DE RETIRO EN EDAD AVANZADA A UNA COMPAÑÍA DE SEGUROS QUE LE PAGARA UNA SUMA TOTAL DE BsF 20000 A LA EDAD DE 65 AÑOS. LA COMPAÑÍA DE FIJA LA CANTIDAD DE BsF 5000 POR LA POLIZA. ¿ DE CUANTO ES LA TASA DE INTERES QUE ESTAN USANDO?

CAPITALIZACION CONTINUA En este caso n tiende a ser muy grande. Si x es la cantidad de años. P = Q ( 1+i )x capitalización anual P = Q ( 1+i/2)2x capitalización semestral P = Q ( 1+i/4)4x capitalización trimestral P = Q ( 1+i/n)nx n periodos iguales P = Q ( 1+i/365)365.1 continua

Uso de la función exponencial natural para capitalizaciones continuas. Valor después de x años = Peix i= R/100 Donde eix se define como la tasa de crecimiento especifica e-ix se define como la tasa de decrecimiento especifica (depreciación)

APLICACIÓN: INVERSIONES UNA INVERSION DE BsF 6000 SE CAPITALIZA CONTINUAMENTE A UNA TASA DE INTERÉS NOMINAL ANUAL DE 7 ½ %. ¿ CUAL ES EL VALOR DE LA INVERSION DESPUES DE 6 AÑOS?. Valor después de x años = Peix donde P = 6000 i= 7,5/100=0,075 x= 6 Valor después de 6 años = 6000 e0,45 = Bsf 9409,87

APLICACIÓN: DEPRECIACION HACE DOS AÑOS UNA EMPRESA COMPRO UNA MAQUINA EN BsF 6000. SU PRECIO ACTUAL DE REVENTA ES DE BsF 4500. SUPONIENDO QUE LA MAQUINA SE DEPRECIA EN FORMA EXPONENCIAL. CUAL ES SU VALOR DENTRO DE 3 AÑOS. Solución : Hace 2 años 4500= 6000e-2i Entonces i= 0,145 En tres años Valor = 6000e-0,435