SISTEMAS U. D. 5 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMAS DE SISTEMAS CUADRÁTICOS U. D. 5.5 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMAS DE SISTEMAS Hay que seguir los siguientes pasos: 1.- COMPRENSIÓN.- Leer detenidamente y entender el enunciado. Si se ha entendido bien, se podrá intuir el número de incógnitas que necesitamos. 2.- DESIGNAR.- Las incógnitas no son siempre los datos que se pide, sino los datos desconocidos que permita resolver el problema. PLANTEAR.- Una vez designadas las incógnitas, se traduce a lenguaje algebraico el enunciado, resultando varias ecuaciones. Para poder resolver el sistema necesitamos, como mínimo, tantas ecuaciones como incógnitas. 3.- RESOLUCIÓN.- Aplicando cualquiera de los tres Métodos vistos. 4.- COMPROBACIÓN.- Se comprueba si la solución cumple las condiciones del enunciado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMA 7 En un cuadrado hemos aumentado el largo en 2 cm y el ancho en 3 cm. ¿En cuánto se ha incrementado el área del cuadrado original?. RESOLUCIÓN Sea x = el lado del cuadrado. Sea y = largo nuevo. Sea z = ancho nuevo. y = x + 2 , z = x + 3 Aumento: A = (x + 2).(x + 3) – x2 A = x2 + 2x + 3x + 6 – x2 A = 5.x + 6 El aumento es indeterminado. Depende del lado, x, del cuadrado original. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMA 8 Divide al número 20 en dos partes tales que el cuadrado de la mayor exceda al de la menor en 300. RESOLUCIÓN Sea x = una parte, la mayor. Sea y = la otra parte, la menor. Tenemos que: x + y = 20 x2 – y2 = 300 De la ecuación lineal: y = 20 – x Sustituyendo en la cuadrática: x2 – (20 – x)2 = 300 Operando: x2 – 400 + 40.x – x2 = 300 40.x = 700  x = 700 / 40 = 17,50  y = 20 – 17,50 = 2,50 Comprobamos que se cumple: 17,502 – 2,52 = 300  306,25 – 6,25 = 300 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMA 9 Calcular las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 32 m y su área 63. RESOLUCIÓN Sea x = la base del rectángulo. Sea y = la altura. Tenemos que: 2.x + 2.y = 32  x + y = 16 x.y = 63 De la ecuación lineal: y = 16 – x Sustituyendo en la cuadrática: x.(16 – x) = 63 Operando: 16.x – x2 = 63  x2 – 16.x + 63 = 0 Resolviendo la ecuación: x = 9 y x = 7 Hallando la altura: Para x = 7  y = 16 – 7 = 9, y para x = 9  y = 16 – 9 = 7 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMA 10 En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el doble de uno de los catetos, y el área del triángulo vale 124,7076 cm2. Deduce el valor de cada lado del triángulo. RESOLUCIÓN Sea x, y y h los catetos y la hipotenusa del triángulo. Sabemos que: h2 = x2 + y2 Tenemos que: h = 2.x x.y / 2 = 124,7076 De la ecuación cuadrática: y = 249,4153 / x Sustituyendo en la hipotenusa: (2.x)2 = x2 + (249,4153 / x)2 Operando: 4.x2 = x2 + 60516 / x2  4.x4 = x4 + 62208 3.x4 = 62208  x4 = 20736  x2 = 144  x = 12 cm Las soluciones negativas de x no valen por la naturaleza del problema. Para x = 12  y = 249,4153 / 12 = 20,7846 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMA 11 Tenemos dos baldosas cuadradas. La diferencia de sus áreas es de 7 cm2 y la diferencia de sus lados es de 1 cm. Hallar sus dimensiones. RESOLUCIÓN Sea x el lado de la baldosa mayor. Sea y el lado de la baldosa menor. Tenemos que: x – y = 1 x2 – y2 = 7 De la ecuación lineal: y = x – 1 Sustituyendo en la cuadrática: x2 – (x – 1)2 = 7 Operando: x2 – x2 + 2.x – 1 = 7 2.x = 8  x = 4 cm Para x = 4  y = x – 1 = 4 – 1 = 3 cm Se cumple que 42 – 32 = 16 – 9 = 7 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

PROBLEMA 12 Dos depósitos de agua tienen forma cúbica. La arista de uno es 1 dm mayor que la arista del otro. Sabemos además que en uno de ellos caben 1387 litros más que en el otro. Deduce algebraicamente las dimensiones. RESOLUCIÓN Sea x la arista del cubo mayor. Sea y la arista del cubo menor. Tenemos que: x – y = 1 x3 – y3 = 1387 De la ecuación lineal: y = x – 1 Sustituyendo en la cúbica: x3 – (x – 1)3 = 1387 Operando: x3 – x3 + 3.x2 – 3.x + 1 = 1387 3.x2 – 3.x – 1386 = 0  Simplificando: x2 – x – 462 = 0 Resolviendo la ecuación: x = 22 cm  y = x – 1 = 21 cm Las soluciones de x negativas no valen por la naturaleza del problema. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.