Unidad 4 Anexo 1. Capítulo VIII Unidad 4 Anexo 1. Capítulo VIII. Vibraciones forzadas amortiguadas con entrada derivada.

U-4.A.1. Cap. VIII. Vibraciones con entrada derivada. A lo largo de esta sección se ha tratado con la solución del modelo del oscilador amortiguado: en el que Fe es periódica (seno o coseno), sin embargo, existen aplicaciones en las que la fuerza externa es de la forma Fe = ay(t) + by’(t). Para ilustrar estos casos, resuelva la ecuación, para m = 1, g = 3, k = 2, a = 1, b = 1 y y(t) = te5t, es decir:

Al resolver el problema de valor inicial: U-4.A.1. Cap. VIII. Vibraciones con entrada derivada. Al resolver el problema de valor inicial: se obtiene:

Ejemplo: Modelo de suspensión de un vehículo (cuarto de automóvil). U-4.A.1. Cap. VIII. Vibraciones con entrada derivada. Ejemplo: Modelo de suspensión de un vehículo (cuarto de automóvil). En este modelo, la masa m representa una cuarta parte de la masa del vehículo, la constante del resorte k modela la tensión combinada del neumático y el resorte de suspensión y la constante de amortiguación g modela el amortiguador. La posición de equilibrio de m cuando y = 0 es x = 0. El desplazamiento en la superficie del camino, y(t) puede deducirse del perfil de superficie del camino y la velocidad del auto.

U-4.A.1. Cap. VIII. Vibraciones con entrada derivada. m g (y’- x’) k (y - x) x Diagrama de cuerpo libre del modelo de suspensión “cuarto de automóvil”.

Este diagrama permite obtener la siguiente ecuación de movimiento: U-4.A.1. Cap. VIII. Vibraciones con entrada derivada. Solución: El diagrama de cuerpo libre, que se ha trazado suponiendo que y’ > x’ y y > x, sólo muestra la fuerza dinámica de resorte, debido a que la fuerza estática del mismo se cancela por efecto de la fuerza de gravedad. Este diagrama permite obtener la siguiente ecuación de movimiento: cuyo reordenamiento permite ponerla en su forma estándar para obtener:

Ejemplo: Respuesta de un vehículo a una irregularidad en el camino. U-4.A.1. Cap. VIII. Vibraciones con entrada derivada. Ejemplo: Respuesta de un vehículo a una irregularidad en el camino. Suponga que un vehículo encuentra un tope de un metro de longitud mientras se mueve a una velocidad v = 18m/s (≈ 65 km/h). El perfil del tope está dado por: donde z es la distancia horizontal que viaja el vehículo mientras pasa por encima del tope. El desplazamiento y(t) de la suspensión se relaciona con z a través de la velocidad del vehículo, z = vt. Entonces,

Así, la ecuación de movimiento se transforma en: U-4.A.1. Cap. VIII. Vibraciones con entrada derivada. Algunos valores representativos de una suspensión real son: m = 240 kg (una cuarta parte de la masa del vehículo), g = 5 000 Ns/m y k = 16 000 N/m; para los cuales: Así, la ecuación de movimiento se transforma en: Solución complementaria: observe que:

De manera que la solución general es: U-4.A.1. Cap. VIII. Vibraciones con entrada derivada. Solución particular: De manera que la solución general es: Finalmente, con las condiciones iniciales x(0) = x’(0) = 0, se obtiene la solución:

U-4.A.1. Cap. VIII. Vibraciones con entrada derivada. La siguiente gráfica muestra las soluciones junto con el perfil del tope:

U-4.A.1. Cap. VIII. Vibraciones con entrada derivada. Como se puede ver en la gráfica anterior, las soluciones complementaria (xc) y particular (xp) presentan un comportamiento totalmente opuesto y su adición permite obtener la curva de la solución (x). Asimismo, aunque la altura del tope es de 0.5 m, la gráfica muestra que el desplazamiento máximo del chasís sólo se aproxima a 0.22 m. Por lo tanto, se puede considerar que la suspensión trabaja adecuadamente al reducir el efecto del tope sobre el compartimento de pasajeros.