ICPM050 – ECONOMETRÍA tema 03: ESTIMACIÓN MODELO LINEAL SIMPLE ESCUELA DE INGENIERÍA COMERCIAL ICPM050 – ECONOMETRÍA tema 03: ESTIMACIÓN MODELO LINEAL SIMPLE PROF. Carlos R. Pitta MARZO, 2018

Problema de Estimación: Mínimos Cuadrados Ordinarios Suponga que tenemos claro las ideas principales de la lección anterior: nuestro modelo puede sobre o sub estimar el valor real de la variable dependiente, dependiendo de la muestra. Sin embargo, desearíamos equivocarnos lo menos posible. ¿De qué manera podemos elegir los parámetros 1 y 2, de manera que minimizemos la suma de los errores TOTALES (o cuadrados)? Esa es la idea principal detrás del método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MICO) Prof. Carlos R. Pitta

Por razones pedagógicas, haremos los cálculos en la pizarra. Problema de Estimación: Mínimos Cuadrados Ordinarios Por razones pedagógicas, haremos los cálculos en la pizarra. Prof. Carlos R. Pitta

Propiedades Algebraicas (cálculos en la pizarra) Prof. Carlos R. Pitta

Modelo clásico de regresión lineal: supuestos detrás del método MICO El modelo de Gauss, modelo clásico o estándar de regresión lineal (MCRL) el cual es el cimiento de la mayor parte de la teoría econométrica, plantea 10 supuestos. Supuesto 1: Modelo de regresión lineal El modelo de regresión es lineal en los parámetros Supuesto 2: Los valores de X son fijos (ie no estocásticos) en muestreo repetido. Significa que el análisis de regresión es un análisis de regresión condicional, esto es, condicionado a los valores dados del (los) regresor X. Prof. Carlos R. Pitta

Supuesto 3: El valor medio de la perturbación ui es igual a cero. Dado el valor de X, el valor esperado del término aleatorio de perturbación ui es cero. Nótese que el supuesto E(ui/Xi)=0 implica que Prof. Carlos R. Pitta

Supuesto 4: Homocedasticidad o igual varianza de ui. Dado el valor de X, la varianza de ui es la misma para todas las observaciones, es decir, las varianzas condicionales de ui son idénticas. Homocedasticidad Heterocedasticidad Prof. Carlos R. Pitta

Supuesto 5: No existe auto correlación entre las perturbaciones. Dados dos valores cualquiera de X, Xi y Xj , la correlación entre dos ui y uj es cero. Prof. Carlos R. Pitta

Supuesto 6: La covarianza entre ui y Xi es cero o E(uiXi)=0 Supuesto 7: El número de observaciones n debe ser mayor que el número de parámetros por estimar. Supuesto 8: Variabilidad en los valores de X. No todos los valores de X en una muestra dada deben ser iguales. Recordar que la varianza muestral de X es Prof. Carlos R. Pitta

Supuesto 9: El modelo de regresión está correctamente especificado. Supuesto 10: No existe multicolinealidad perfecta. No hay relaciones perfectamente lineales entre las variables explicativas. Prof. Carlos R. Pitta

Propiedades Estadísticas (cálculos en la pizarra) Prof. Carlos R. Pitta

Precisión o errores estándar de los mínimos cuadrados estimados Lo que se requiere es alguna medida de “confiabilidad” o precisión de los estimadores . En estadística la precisión de un valor estimado es medida por su error estándar (ee). Los errores estándar de los MCO estimados pueden obtenerse de la siguiente manera Recuerde que el error estándar es la desviación estándar de la distribución muestral del estimador, y la distribución muestral es una distribución del conjunto de valores del estimador obtenidos de todas las muestras posibles de igual tamaño de una población dada. Prof. Carlos R. Pitta

Precisión o errores estándar de los mínimos cuadrados estimados Nota: es estimada mediante la fórmula Suma de residuos al cuadrado (SRC) Número de grados de libertad Donde es el estimador de MCO de la verdadera . El término número de grados de libertad significa el número total de observaciones n menos el número de restricciones puestas en ellas. Prof. Carlos R. Pitta

Error estándar de la regresión Es la desviación estándar de los valores de Y alrededor de la recta de regresión estimada, la cual es utilizada como una medida resumen de la bondad del ajuste de dicha recta Prof. Carlos R. Pitta

Propiedades de los estimadores de mínimos cuadrados: Teorema de Gauss-Markov Dados los supuestos del modelo de regresión lineal clásica, los estimativos de mínimos cuadrados poseen propiedades ideales u óptimas, las cuales se encuentran resumidas en el teorema de Gauss Markov Un estimador de MCO es el mejor estimador lineal insesgado (MELI) de 2 si: 1. Es lineal, es decir, una función lineal de una variable aleatoria tal como la variable dependiente Y en el modelo de regresión. Prof. Carlos R. Pitta

Propiedades de los estimadores de mínimos cuadrados: Teorema de Gauss-Markov 2. Es insesgado, es decir, su valor promedio o esperado, es igual al valor verdadero, 3. Tiene varianza mínima entre la clase de todos los estimadores lineales insesgados; a un estimador insesgado con varianza mínima se le conoce como estimador eficiente Prof. Carlos R. Pitta

Teorema de Gauss-Markov En el contexto del análisis de regresión se puede demostrar que los estimadores de MCO son MELI Teorema de Gauss-Markov: Dados los supuestos del modelo clásico de regresión lineal, los estimadores de mínimos cuadrados, en la clase de estimadores lineales insesgados, tienen varianza mínima; es decir son MELI Prof. Carlos R. Pitta

Bondad del Ajuste Ahora deseamos desarrollar una suerte de medida de qué tan bien ajusta nuestro modelo a los datos muestrales. Lo haremos desarrollando el concepto de coeficiente de determinación, r2 para el modelo simple (2 var), R2 para el múltiple. Posteriormente discutiremos sus limitaciones, y algunos otros estadísticos alternativos que nos permiten medir la bondad del ajuste. Prof. Carlos R. Pitta

Bondad del Ajuste Comenzamos a partir de la expresión más simple: A continuación, expresamos el modelo en desvíos de la media. En donde las variables minúsculas representan desvíos, yi = Yi – E(Y). Elevando al cuadrado y sumando tenemos: Prof. Carlos R. Pitta

SCT = SCE + SCR r2 = SCE/SCT 1– SCR/SCT Bondad del Ajuste Podemos descomponer de manera muy útil la suma de cuadrados, o las fuentes de error, de la regresión: El término izquierdo es denominado Suma de Cuadrados Totales (SCT); mientras que el segundo término de la última expresión es llamado la Suma de Cuadrados Explicada (SCE). El último término es llamado Suma de Cuadrados Residuales (SCR). Definimos al coeficiente de correlación r2 como el cociente entre SCE y SCT. SCT = SCE + SCR r2 = SCE/SCT 1– SCR/SCT Prof. Carlos R. Pitta

Bondad del Ajuste Manipulando un poco la expresión anterior, podemos encontrar varias fórmulas para r2. Cual de ellas usar depende de la facilidad en cada caso. Dividiendo la parte derecha de la última expresión también tenemos: En donde Sx y Sy es el desvío estándar muestral de X e Y, respectivamente. Existen muchas otras expresiones posibles para r2. Juegue con las expresiones y revise su texto para descubrirlas. Prof. Carlos R. Pitta

Intuición de r = Prof. Carlos R. Pitta

Intuición de r = Prof. Carlos R. Pitta

Intuición de r = Prof. Carlos R. Pitta

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