Distribución Uniforma Continua Distribución Normal LECCIÓN 5: ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTÍNUAS Distribución Uniforma Continua Distribución Normal Distribución Normal General Distribución Normal Tipificada Teorema de la adición Distribución Gamma Distribución Exponencial Distribuciones relacionadas con la normal Distribución chi-cuadrado Distribución F de Fisher-Snedecor Distribución t de Student

DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA (Rectangular) Una variable aleatoria se distribuye de forma uniforme en un intervalo (a,b) con -<a<b< si su función de densidad viene dada por Función de distribución 0 si x<a x-a si ax b b-a 1 si x>b Función de densidad 0 resto 1/(b-a) si a x  b F(x)= f(x)= f(x) F(x) a b a b

DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA Momentos: Media = E[x]=  x/(b-a)dx= (b+a)/2 Varianza Var(x)= E[x2]- [E[x]]2= (b-a)2/12 Función generatriz de momentos etb- eta si t0 t(b-a) 1 si t=0 gx(t)=

Uniforme discreta, EJEMPLOS: 1. El tiempo que tarda un alumno en ir desde su domicilio a la facultad varía entre 30 y 40 minutos. Diariamente debe llegar a clase a las 9h. a) A qué hora debe salir de su casa para tener la probabilidad de 0.8 de no llegar tarde a clase b) Cuál es el tiempo medio que tarda en ir a clase, y la varianza. 2. De la Estación de San Telmo sale una guagua en dirección Las Palmas-Telde cada 15 minutos. Un viajero llega de improviso en cualquier momento. a) Probabilidad de que el viajero espere menos de 5 minutos b) Probabilidad de que el viajero espere exactamente 10 minutos. c) Media y varianza del tiempo de espera del viajero.

DISTRIBUCIÓN NORMAL N(,2) a) Existen muchas variables en las cuales su variación parece coincidir con una distribución normal (pesos, alturas, medidas de calidad, etc.) b) Muchos estadísticos se distribuyen con una Normal. c) Se presenta como una excelente aproximación de otras distribuciones (Binomial, Poisson), cuando el tamaño de la muestra es grande. Función de densidad Función de distribución F(x)= de difícil manejo Función Generatriz -<x<

X N(,2), para Z=(x-)/, Z N (0,1) DISTRIBUCIÓN NORMAL N(,2) Propiedades 1. Es simétrica respecto de la media x= , f(-x)=f(+x) xR. 2. Alcanza su máximo en =x. 3. Es creciente para x< y decreciente para x> . 4. Los puntos de abcisas (-) y (+) son de inflexión. 5. La recta y=0 es una asíntota de f(x). Para el cálculo de probabilidades utilizamos la Normal tipificada o estándar. N(0,1) X N(,2), para Z=(x-)/, Z N (0,1)

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR N(0,1) Particularidades: Me=Moda=0 1er cuartil x= -0.675 Función de densidad 1. Es simétrica respecto de la media x=0 , f(x)=f(-x) xR. 2. Alcanza su máximo en =0, f(x=0)=1/2. 3. Es creciente para x<0 y decreciente para x> 0. 4. Los puntos de abcisas 1 y -1 son de inflexión. 5. La recta y=0 es una asíntota de f(x).

xiN(2) con i2>0 para todo i=1,2,....,n TEOREMA DE LA ADICIÓN Cualquier combinación lineal de variables normales e independientes sigue una distribución normal. Si x1,x2,....,xn son independientes xiN(2) con i2>0 para todo i=1,2,....,n y dados a1,a2,...,an, b  con ai0 Llamando

Corolario 1.1 Si x1,x2,....,xn son independientesy con la misma distribución Normal xiN(2) con 2>0 para todo i=1,2,....,n Entonces Corolario 1.2 La variable “media muestral” sigue una distribución Normal