ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE ORDEN “n” y COEFICIENTES CONSTANTES

Sea la ecuación diferencial lineal de orden “n” y de coeficientes variables

Si ahora consideramos una ecuación de coeficientes constantes, queda donde todos los coeficientes son constantes. Esta es una ecuación no homogénea, y sabemos que toda ecuación lineal no homogénea tiene asociada a ella una homogénea Ecuación homogénea asociada

Solución La solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea es de la forma 𝑦 𝐺 = 𝑦 ℎ + 𝑦 𝑝 Donde 𝑦 ℎ es la solución de la ecuación homogénea asociada y 𝑦 𝑝 es una solución particular.

Ejemplos Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales lineales por tipo de coeficientes y homogeneidad:

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes Se presentan de la siguiente manera: Cambiando la notación al operador derivada u operador diferencial 𝑎 𝑛 𝐷 𝑛 𝑦+ 𝑎 𝑛−1 𝐷 𝑛−1 𝑦+…+ 𝑎 1 𝐷𝑦 +𝑎 0 𝑦=0 Que se puede reescribir como (𝑎 𝑛 𝐷 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝐷 𝑛−1 +…+ 𝑎 1 𝐷 +𝑎 0 )𝑦=0 Donde (𝑎 𝑛 𝐷 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝐷 𝑛−1 +…+ 𝑎 1 𝐷 +𝑎 0 ) = P(D); es un polinomio diferencial Por lo que la ecuación queda P(D)𝑦=0

Ecuación lineal de primer orden y de coeficientes constantes Si de la ecuación de orden “n”, extraemos la de primer orden, quedará 𝑎 1 𝐷𝑦 +𝑎 0 𝑦=0 que se puede escribir como 𝑎 1 𝐷𝑦 =−𝑎 0 𝑦 regresando a la notación de Leibnitz 𝑎 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =−𝑎 0 𝑦 multiplicando por dx 𝑎 1 𝑑𝑦 =−𝑎 0 𝑦𝑑𝑥 separando variables 𝑑𝑦 𝑦 =− 𝑎 0 𝑎 1 𝑑𝑥 integrando 𝑑𝑦 𝑦 =− 𝑎 0 𝑎 1 𝑑𝑥

Debido a que los coeficientes son constantes, el resultado del cociente entre ellos es otra constante, por lo que llamaremos al cociente “m” , por lo que m= - 𝑎 0 𝑎 1 𝑙𝑛𝑦=mx+C aplicando la función inversa a ln 𝑦= 𝑒 𝑚𝑥+𝐶 que se puede expresar 𝑦= 𝑐 1 𝑒 𝑚𝑥

Por lo tanto todas las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de primer orden y coeficientes constantes se resuelven simplemente cambiando el valor de “m”. Ejemplo: Resuelva 𝑦 ′ +4𝑦=0 esto es 𝐷𝑦+4𝑦=0 (D+4)y=0 La solución es de la forma 𝑦= 𝑐 1 𝑒 𝑚𝑥 donde m= - 𝑎 0 𝑎 1 𝑦= 𝑐 1 𝑒 −4𝑥

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden y de coeficientes constantes De la ecuación lineal de orden “n” extraemos la de segundo orden

Reescribamos la ecuación, únicamente cambiando los nombres de las constantes Si cambiamos la notación al operador diferencial Si extraemos el operador aplicado a la función, la ecuación queda

Ahora proponemos una solución igual a la de primer orden 𝑦= 𝑐 1 𝑒 𝑚𝑥 por facilidad utilizaremos el valor de 𝐶 1 =1, por lo que queda 𝑦= 𝑒 𝑚𝑥 Si esta función es solución de la ecuación anterior, al derivar y sustituir debe generar una ecuación identidad Derivado 𝑦′=𝑚 𝑒 𝑚𝑥 𝑦′′= 𝑚 2 𝑒 𝑚𝑥 Sustituyendo Podemos factorizarla de la siguiente manera 𝑒 𝑚𝑥 (𝑎 𝑚 2 +bm+𝑐) =0 𝑎 𝑚 2 𝑒 𝑚𝑥 +bm 𝑒 𝑚𝑥 +𝑐 𝑒 𝑚𝑥 =0

𝑎 𝑚 2 +bm+𝑐 =0 polinomio característico ó Como debe ser solución la igualdad se tiene que cumplir por lo que el único factor que permite la igualdad es 𝑎 𝑚 2 +bm+𝑐 =0 polinomio característico ó Polinomio auxiliar El cual es un polinomio de segundo grado que tiene dos raíces como solución y se pueden obtener mediante la fórmula general. 𝑚 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Estas raíces tienen las siguientes posibilidades:

Caso 1 Si 𝑏 2 >4𝑎𝑐 Se generan raíces reales diferentes, por lo que 𝑚 1 ≠ 𝑚 2 Por lo que tendríamos dos funciones de la forma 𝑦= 𝑒 𝑚𝑥 y serían 𝑦 1 = 𝑒 𝑚 1 𝑥 y 𝑦 2 = 𝑒 𝑚 2 𝑥 Estas funciones forman la base del espacio vectorial de posibles soluciones de la ecuación diferencial planteada. base o conjunto fundamental de soluciones

Principio de superposición Sean las funciones 𝑦 1 𝑥 y 𝑦 2 𝑥 soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea, entonces las funciones 𝑦= 𝐶 1 𝑦 1 , 𝑦= 𝐶 2 𝑦 2 y 𝑦= 𝐶 1 𝑦 1 + 𝐶 2 𝑦 2 , también son soluciones de la misma ecuación diferencial lineal homogénea. Donde 𝐶 1 y 𝐶 2 ∈ ℝ.

Caso 1 Solución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden con raíces diferentes en el polinomio característico

Ejemplo Obtenga su solución general.

Conjunto fundamental de soluciones Definición. Todo conjunto y1, y2,...,yn de “n” soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden “n”, en un intervalo I, se llama conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. La solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea está dada por la combinación lineal de su conjunto fundamental porque este es la base del espacio vectorial de soluciones. En resumen: a) Número de funciones en el conjunto igual al orden de la ecuación diferencial. b) Todas las funciones en el conjunto deben ser linealmente independientes.

Dependencia lineal Existen varios criterios para determinar si algunas funciones son linealmente independientes, entre ellos: 1. La ecuación de dependencia lineal 2. El Wronskiano 3. Efectuar el cociente entre funciones

Ecuación de dependencia lineal

Wronskiano

Wronskiano

Cociente de funciones

Ejemplo

Caso 2 Raíces reales iguales (multiplicidad 2) Se generan raíces iguales, por lo que 𝑚 1 = 𝑚 2 por lo que tendríamos dos funciones de la forma 𝑦= 𝑒 𝑚𝑥 y serían 𝑦 1 = 𝑒 𝑚 1 𝑥 y 𝑦 2 = 𝑒 𝑚 1 𝑥 que no son linealmente independientes, por esa razón se busca otra solución linealmente independiente mediante variación de parámetros 𝑦 2 = 𝑢(𝑥)𝑒 𝑚 1 𝑥 Derivando esta función y sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene que 𝑢(𝑥) = x, por lo tanto la base del espacio vectorial estará dada por Conjunto fundamental o base

Ejemplo

Caso 3 Raíces complejas conjugadas Si 𝑏 2 <4𝑎𝑐, entonces se generan números complejos de la forma y Que al sustituir en la forma 𝑦= 𝑒 𝑚𝑥 , quedarán 𝑦 1 = 𝑒 (𝛼+𝛽𝑖)𝑥 y 𝑦 2 = 𝑒 (𝛼−𝛽𝑖)𝑥 Por lo que la solución general es

Usando la fórmula de Euler

Raíces complejas conjugadas

Ejemplos J

Ejemplo

Ecuaciones lineales

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes Se presentan de la siguiente manera: Cambiando la notación al operador derivada u operador diferencial 𝑎 𝑛 𝐷 𝑛 𝑦+ 𝑎 𝑛−1 𝐷 𝑛−1 𝑦+…+ 𝑎 1 𝐷𝑦 +𝑎 0 𝑦=0

( 𝑎 𝑛 𝐷 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝐷 𝑛−1 +…+ 𝑎 1 𝐷 +𝑎 0 )𝑦=0 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes 𝑎 𝑛 𝐷 𝑛 𝑦+ 𝑎 𝑛−1 𝐷 𝑛−1 𝑦+…+ 𝑎 1 𝐷𝑦 +𝑎 0 𝑦=0 Que se puede expresar de la siguiente manera ( 𝑎 𝑛 𝐷 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝐷 𝑛−1 +…+ 𝑎 1 𝐷 +𝑎 0 )𝑦=0 En términos del polinomio diferencial 𝑎 𝑛 𝑚 𝑛 𝑦+ 𝑎 𝑛−1 𝑚 𝑛−1 𝑦+…+ 𝑎 1 𝑚𝑦 +𝑎 0 =0 El cual es un polinomio de grado “n”, que tiene “n” raíces y se pueden presentar diferentes casos de acuerdo a la forma de las raíces.

Caso 1 Raíces reales diferentes 𝑚 1 ≠ 𝑚 2 ≠…≠ 𝑚 𝑛 La solución general está dada de la forma 𝑦 ℎ = 𝑐 1 𝑒 𝑚 1 𝑥 + 𝑐 2 𝑒 𝑚 2 𝑥 +…+ 𝑐 𝑛 𝑒 𝑚 𝑛 𝑥

Caso 2 Raíces reales iguales 𝑚 1 = 𝑚 2 =…= 𝑚 𝑛 La solución general está dada de la forma 𝑦 ℎ = 𝑐 1 𝑒 𝑚 1 𝑥 + 𝑐 2 𝑥 𝑒 𝑚 2 𝑥 +…+ 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛−1 𝑒 𝑚 𝑛 𝑥

Caso 3 Raíces complejas repetidas 𝑚 1,2 =𝛼±𝛽𝑖, 𝑚 3,4 =𝛼±𝛽𝑖 , 𝑚 5,6 =𝛼±𝛽𝑖 La solución general está dada de la forma 𝑦 ℎ = 𝑐 1 𝑒 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥+ 𝑐 2 𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥+x( 𝑐 1 𝑒 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥+ 𝑐 2 𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥)…+ 𝑥 2 ( 𝑐 1 𝑒 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥+ 𝑐 2 𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥)

Caso 4 Cualquier combinación 𝑚 1 ≠ 𝑚 2 ≠ 𝑚 3 , 𝑚 3 = 𝑚 4 = 𝑚 5 , 𝑚 6,7 =𝛼±𝛽𝑖 , 𝑚 8,9 =𝛼±𝛽𝑖 La solución para una ecuación con estas raíces es 𝑦 ℎ = 𝑐 1 𝑒 𝑚 1 𝑥 + 𝑐 2 𝑒 𝑚 2 𝑥 +…+ 𝑐 3 𝑒 𝑚 3 𝑥 + 𝑐 4 𝑥 𝑒 𝑚 4 𝑥 + 𝑐 5 𝑥 2 𝑒 𝑚 5 𝑥 + 𝑐 6 𝑒 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥+ 𝑐 7 𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥+x( 𝑐 8 𝑒 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥+ 𝑐 9 𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥)

Ejemplos