Optimización de Procesos

Tier I: Métodos Matemáticos de Optimización Sección 4: Optimización Multi-Objetivo

Introducción La optimización Multi-objetivo (Multi-objective optimization, MOO) es la optimización de objetivos encontrados. Estábamos de hecho haciendo MOO en el capítulo de Introducción cuando optimizamos el espesor del aislamiento – balanceamos dos objetivos opuestos. Nos fue posible usar una función objetivo enlazando los dos objetivos con una característica común – costo.

Introducción En algunos problemas de optimización, no es posible encontrar una manera de enlazar objetivos encontrados. A veces las diferencias son cualitativas y la importancia relativa de estos objetivos no puede ser numéricamente cuantificada.

Ejemplo Conceptual Supón que necesitas volar un gran trayecto: ¿Debes elegir el boleto más barato (más trasbordos) o el menor tiempo de vuelo (más caro)? Es imposible dar un valor al tiempo, así que estos dos objetivos no pueden ser ligados. También, la importancia relativa variará. Puede haber un negocio de emergencia que necesites ir a arreglar rápidamente. O, tal vez tengas un presupuesto muy apretado.

Soluciones Optimas de Pareto Un problema de MOO con restricciones tendrá muchas soluciones en la región factible. Aún cuando es posible que no podamos asignar importancia relativa numéricamente a los objetivos múltiples, podemos clasificar algunas soluciones posibles como mejores que otras. Veremos esto en el próximo ejemplo.

Ejemplo de Soluciones óptimas de Pareto Supón que en el ejemplo anterior del viaje en avión encontramos los siguientes boletos: Boleto Tiempo de Vuelo (hrs) Precio del Boleto ($) A 10 1700 B 9 2000 C 8 1800 D 7.5 2300 E 6 2200

Comparación de Soluciones Si comparamos los boletos A y B, no podemos decir que cualquiera es superior sin saber la importancia relativa del Tiempo de Vuelo vs. Precio. Sin embargo, la comparación de los boletos B y C muestra que C es mejor que B en ambos objetivos, así que podemos decir que C "domina" a B. Así, mientras C es una opción factible, no hay razón para elegir B.

Comparación de Soluciones Si terminamos las comparaciones, también vemos que D es dominada por E. El resto de las opciones (A, C, y E) tienen un trade-off asociado con Tiempo vs. Precio, así ninguno es claramente superior a los otros. Llamamos a este el grupo “no dominado” de soluciones porque ninguna de las soluciones está dominada.

Gráfica de Soluciones Usualmente, las soluciones de este tipo tienen una forma típica, mostrada en el gráfico de abajo: Opciones de Boleto de Avión Precio ($) Tiempo de Vuelo (hrs) Región Factible D B E A C

Tipos de Soluciones Las soluciones que se encuentran a lo largo de la línea son soluciones no dominadas, mientras que aquellas que yacen dentro de la línea (región factible) son dominadas porque siempre hay otra solución en la línea que tiene cuando menos un objetivo mejor.

Soluciones óptimas de Pareto La línea es llamada el frente de Pareto y las soluciones son llamadas óptimas de Pareto. Todas las soluciones óptimas de Pareto son no dominadas. Entonces, es importante en MOO encontrar las soluciones más cercanas al Frente de Pareto y mas lejanas a lo largo del mismo como sea posible.

Ejemplo Gráfico Para la siguiente región factible con objetivos f1 y f2 donde tanto f1 como f2 son minimizados: f2 Región Factible Frente de Pareto f1

Encontrando el Frente de Pareto Una manera de imaginar como encontrar los puntos en el Frente de Pareto es usando una combinación de pesos numéricos para los dos objetivos: f2 w1* w2 w1 f1

Encontrando el Frente de Pareto Si esto se hace para un intervalo de líneas de 90°, todos los puntos en el Frente de Pareto serán encontrados. f2 f1

Practicidad de este Procedimiento Realmente, este no es el procedimiento usado en la práctica, pero es una buena ilustración del concepto. Este procedimiento requeriría encontrar todos los puntos posibles en la región factible y posteriormente usar muchas combinaciones de pesos. Para mas de dos objetivos, la complejidad y el número de combinaciones hacen de este un procedimiento impráctico.

Procedimientos Realistas Existen diferentes métodos usados en la práctica, pero uno es usar un algoritmo genético para enumerar los puntos a lo largo del Frente de Pareto después de varias iteraciones, entonces usa algún método para clasificar la calidad de los trade-offs basado en la aplicación particular a ser modelada. Revisa Thibault, J. et al. en las referencias para un ejemplo.

Optimización Se debe recordar que cada punto en el Frente de Pareto se encuentra al resolver un problema de optimización. Entonces, como vimos en el Capítulo 3, si el problema es no lineal o muy complejo, el simple paso de obtener solo una solución tal vez no sea trivial.

Referencias Deb, Kalyanmoy; Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms Thibault, J. et al. “Multicriteria optimization of a high yield pulping process with rough sets” Chemical Engineering Science, 58, (2003) Lahanas, Michael; www.mlahanas.de/MOEA/MO_Optimisation.htm