PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES PROF. M. ALONSO Creciente Decreciente Traslaciones Par e Impar

Prerrequisitos Definir el concepto de función. Trazar las gráficas de las funciones básicas.

Objetivos Definir función creciente,decreciente y constante. Definir función par e impar. Determinar cuando una función es par o impar. Determinar las transformaciones de funciones. Trazar gráficas.

Las propiedades que estudiaremos son: Funciones crecientes, decrecientes o constantes Función par o impar Transformaciones de de funciones Traslaciones Estiramientos Contracciones Reflexiones

Considere las siguientes funciones: ¿Cuál usted considera que es creciente y cuál es decreciente?

Definición Decimos que la función f es creciente en el intervalo I = [a,b] cuando tomamos dos valores x1, x2 en ese intervalo con x1 < x2 y observamos que f(x1) < f(x2). En palabras sencillas, si a medida que la x aumenta también la y aumenta entonces es una función creciente.

Explicación de la definición mediante la gráfica

Ejemplo Note que 2 < 5 Podemos concluir que la función Es creciente

La y que le corresponde a x1 es mayor que la y que le corresponde a x2 Definición Decimos que la función f es decreciente en el intervalo I = [a,b] cuando tomamos dos valores x1, x2 en ese intervalo con x1 < x2 y observamos que f(x1) > f(x2).Es decir, si a medida que la x aumenta la y disminuye decimos que es una función decreciente. La y que le corresponde a x1 es mayor que la y que le corresponde a x2

Note que a medida que aumentamos el valor de la x, la variable y disminuye. Ejemplo Note que 4 > 2 Podemos concluir que la función es decreciente. Note que 1 < 3

Definición Decimos que la función f es constante en el intervalo I = [a,b] cuando tomamos dos valores x1, x2 en ese intervalo con x1 < x2 y observamos que f(x1) = f(x2). O sea, si la x aumenta la y se queda igual, no cambia.

Note que f(1) =f(4), pues f(1) = 5 y f(4)=5 Ejemplo Note que f(1) =f(4), pues f(1) = 5 y f(4)=5 Podemos concluir que la función es constante Note que 1 < 4

Pasemos a estudiar otra propiedad de las funciones Función par o impar

Observe los pares ordenados de la siguiente función F(x) = x2. Y F(x) F(0)= 0 1 F(1)= 1 -1 F(-1)= 1 2 4 F(2)= 4 -2 F(-2)= 4 3 9 F(3)= 9 -3 F(-3)= 9 OBSERVE!

La gráfica es:

De la tabla o de la gráfica observamos que: X Y F(x) F(0)= 0 1 F(1)= 1 -1 F(-1)= 1 2 4 F(2)= 4 -2 F(-2)= 4 3 9 F(3)= 9 -3 F(-3)= 9 F(1)= 1 = F(-1) F(2) = 4 = F(-2) F(3) = 9 = F(-3) O sea que F(x) = F(-x)

Simetría con respecto al eje de y Definición Decimos que una función es par si se cumple que f(-x) = f(x) para todo valor del dominio. Las gráficas de las funciones pares son simétricas al eje de y. Simetría con respecto al eje de y

Considere la función F(x) = x3

La tabla es: X Y F(x) F(0)= 0 1 F(1)= 1 -1 F(-1)= -1 2 8 F(2)= 8 -2 -8 F(0)= 0 1 F(1)= 1 -1 F(-1)= -1 2 8 F(2)= 8 -2 -8 F(-2)= -8 3 27 F(3)= 27 -3 -27 F(-3)=-27

De la tabla se desprende: F(-1) = -1 = -F(1) F(-2) = -8 = -F(2) F(-3) = -27 = -F(3)   Por lo tanto F(-x) = -F(x) X Y F(x) F(0)= 0 1 F(1)= 1 -1 F(-1)= -1 2 8 F(2)= 8 -2 -8 F(-2)= -8 3 27 F(3)= 27 -3 -27 F(-3)=-27 Simétrica al origen

Definición Una función se dice que es impar si se cumple que f(-x) = -f(x) para todo valor del dominio.   Observe que las funciones impares son simétricas al origen.

Se evalúa la función en -x Obtenemos la misma función que la original Ejemplos Determine si la función es par o impar. Se evalúa la función en -x Concluimos que es una función par porque se cumple la siguiente igualdad Obtenemos la misma función que la original

Se evalúa la función en -x Obtenemos el opuesto de la función original Ejemplos Determine si la función es par o impar. Se evalúa la función en -x Concluimos que es una función impar porque se cumple la siguiente igualdad Obtenemos el opuesto de la función original

Transformaciones de las funciones Traslaciones Estiramientos Contracciones Reflexiones

Definición Suponga que usted conoce la gráfica de f(x) entonces la nueva función dada por g(x) =f(x) + c representa una traslación vertical de la gráfica de f. Si c > 0 entonces la gráfica se traslada c unidades hacia arriba y si c < 0 entonces la traslación es de c unidades hacia abajo.

Note que la gráfica se trasladó 3 unidades hacia arriba Ejemplo G(x) = x2 + 3 F(x)=x2

Note que la gráfica se trasladó 2 unidades hacia abajo Ejemplo Note que la gráfica se trasladó 2 unidades hacia abajo G(x) = |x| - 2

Definición Suponga que usted conoce la gráfica de f(x) entonces la nueva función dada por g(x) =f(x - c) representa una traslación horizontal de la gráfica de f. Si c > 0 entonces la gráfica se traslada c unidades hacia la derecha y si c < 0 entonces la traslación es de c unidades hacia la izquierda.  

Ejemplo G(x) = (x – 3)2 F(x) = x2

Ejemplo G(x)=(x+2)3 x G(x) -4 -8 -2 -1 1 8 F(x)=x3

Definición Suponga que usted conoce la gráfica de f(x) entonces la nueva función dada por g(x) = cf(x) representa un estiramiento vertical de la gráfica de f si c > 1 pero si 0 <c < 1 entonces es una contracción vertical.

Estiramiento vertical Ejemplo G(x) = 3x2 x G(x) -2 12 -1 3 2 F(x)=x2

F(x) = x2 Ejemplo Contracción vertical

Definición Suponga que usted conoce la gráfica de f(x) entonces la nueva función dada por g(x) = f(cx) representa un estiramiento horizontal de la gráfica de f si 0 < c < 1 y si c > 1 entonces representa una contracción horizontal de la gráfica de f.

Contracción horizontal Ejemplo Contracción horizontal

Estiramiento horizontal Ejemplo Estiramiento horizontal

Definición Suponga que usted conoce la gráfica de f(x) entonces la nueva función dada por g(x) = - f(x) representa una reflexión de la gráfica de f a través del eje de x.

Ejemplos H(x)=x3 F(x)=x2 G(x)=-x3 G(x)=-x2

Ejercicios de Práctica Recuerde verificar en la Sección 2.2 los ejercicios asignados. Solamente trabajando los ejercicios sabrás si entiendes el material.

FIN…