LECCIÓN 7: CONVERGENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS LECCIÓN 7: CONVERGENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS. EL TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Análisis del comportamiento de una sucesión de variables aleatorias (x1,x2,x3,…….,xn). No podemos aplicar las definiciones de límite de sucesión de números reales debido a la aleatoriedad de cada variable. Tipos de Convergencia: Convergencia casi-segura Convergencia en probabilidad Convergencia en media cuadrática Convergencia en distribución.

CONVERGENCIA CASI-SEGURA Una sucesión de V. aleatorias (Xn) “no necesariamente independientes”, se dice que converge casi-seguro a una variable aleatoria X si CONVERGENCIA EN PROBABILIDAD (Con. Estocástica) Una sucesión de V. aleatorias (Xn), se dice que converge en probabilidad a una variable aleatoria X si para todo >0

Convergencia en probabilidad Propiedades 1) Plim Xn=X si y sólo si Plim(Xn-X)=0 2) Si la sucesión Xn converge en probabilidad a la variable aleatoria X y g es una función continua, entonces la sucesión g(Xn) converge en probabilidad a g(X). Plim Xn=xplim g(Xn)=g(X) si g es continua 3) Si XnX y q(x,y) es una función continua YnY g(Xn,Yn) g(X,Y) 4) Xn+YnX+Y Xn -YnX-Y Xn* YnX*Y

CONVERGENCIA EN MEDIA CUADRÁTICA Una sucesión de V. aleatorias (Xn) se dice que converge en media cuadrática a la variable aleatoria X si E[X2n]<, E[X2]< CONVERGENCIA EN DISTRIBUCIÓN (en ley) Una sucesión de V. aleatorias (Xn), se dice que converge en distribución o en ley a una variable aleatoria X, con función de distribución F(x), si la función de distribución Fn(x) de Xn converge a la función de distribución F(x) de X en todo punto de continuidad de F(x); esto es, si:

Convergencia en Distribución (Ley) 1) Si Xn es B(n.p), n, np convergencia en ley a una Poisson de parámetro  2) Si Xn es B(n.p), n, p=cte (np>10) YnN(0,1) “Teorema de Laplace-Demoiure”

Relación entre los distintos tipos de convergencia Casi-Segura Media Cuadrática Probabilidad Distribución Relación entre los distintos tipos de convergencia

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Dada una sucesión Xn de variables independientes, diremos que cumplen el TCL si al sucesión Yn definida como: Sn=x1+x2+……+xn converge en ley hacia una variable distribuida N(0,1) * En términos de media aritmética Xn= media aritmética

Xn converge en probabilidad a  CONCLUSIÓN El TCL nos permite calcular probabilidades aproximadas de sumas y medias de variables aleatorias, sin necesidad de conocer la correspondiente distribución, suponiendo un tamaño muestral lo suficientemente grande. LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Se considera un caso de convergencia en probabilidad Sea X una variable aleatoria con  y 2 ambas finitas Sea x1, x2,…..,xn variables aleatorias independientes con la misma distribución que X (, 2) Xn converge en probabilidad a 