11. Monotonía y Curvatura Aplicaciones de la derivada 11.1 Recta tangente a una curva en uno de sus puntos Para obtener la ecuación de una recta necesitamos: un punto : (x0,f(x0)) una pendiente: m = f´(x0) Calcula la recta tangente a l a función en el punto de abcisa x = -1
P: (x0, f(x0)) = (-1, 3) m = f´(-1) = -2
11.2 Derivada y monotonía Si f´(x) es > 0 en un intervalo [a,b] f(x) es creciente (CC) Si f´(x) es = 0 en un intervalo [a,b] f(x) es constante Si f´(x) es < 0 en un intervalo [a,b] f(x) es decreciente (DC) ESTUDIO DE LA MONOTONÍA (CC vs DC) 1º Puntos de cambio f´(x) = 0 (Máximos, mínimos o puntos de inflexión f(x) no existe (puntos de no definición denom=0) 2º Signo de f´(x)
11.3 Curvatura y segunda derivada Si f´´(x) es > 0 en un intervalo [a,b] f(x) es concava hacia arriba (contenta) Si f´´(x) es = 0 en un intervalo [a,b] f(x) es recta Si f´´(x) es < 0 en un intervalo [a,b] f(x) es convexa hacia arriba (triste) ESTUDIO DE LA CURVATURA (Concava vs Convexa) 1º Puntos de cambio (candidatos) f´´(x) = 0 (puntos de inflexión probablemente) f(x) no existe (puntos de no definición denom=0) 2º Signo de f´´(x) 11.4 Puntos de inflexión f´´(x)=0 (quizás también f´(x)=0) Si f´´(a) = 0 y f´´(x) cambia de signo en a hay un punto de inflexión en (a,f(a))
11.5 Extremos: Máximos y mínimos f´(x)=0 y cambia signo de f´(x) CRITERIO 1 signo de f´(x) a izquierda y derecha Si f´(a) = 0 y f´(x) es negativa a la izquierda de a (DC) hay un mínimo en (a,f(a)) y positiva a la derecha de a (CC) y f´(x) es positiva a la izquierda de a (CC) hay un Máximo en (a,f(a)) y negativa a la derecha de a (DC) CRITERIO 2 signo de f´´(a) Si f´(a) = 0 y f´´(a) >0 (concava-contenta) hay un mínimo en (a,f(a)) Si f´(a) = 0 y f´´(a) <0 (convexa-triste) hay un Máximo en (a,f(a))
Curvatura en un intervalo Recta CC o DC Igual y´=m Es constante y´´=0 Convexa CC cada vez menos DC cada vez más Disminuye y´´<0 Triste Concava CC cada vez más DC cada vez menos Aumenta y´´>0 Contenta