LECCIÓN 6: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES El interés reside en la observación y análisis de más de una variable aleatoria Variables aleatorias bidimensionales discretas (X,Y) es una variable aleatoria bidimensional discreta si los posibles valores de (X,Y) son finitos o infinitos numerables. (Xi,Yj) i=1,2,....,k j=1,2,....,p Variable aleatorias bidimensionales continuas (X,Y) es una variable aleatoria bidimensional continua si puede tomar todos los valores posibles dentro de un par de valores dados.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD O DE CUANTÍA CONJUNTA Sean X,Y dos variables aleatorias discretas, definimos la función de probabilidad conjunta o función de cuantía conjunta. Pij=P(X=xi;Y=yj) Y1 Y2 Y3 ... Yp P(xi) X1 P11 P12 P13 ... P1p P(x1) X2 P21 P22 P13 ... P2p P(x2) X3 P31 P32 P33 ... P3p P(x3) .. Xk Pk1 Pk2 Pk3 ... Pkp P(xk) P(yj) P(y1) P(y2) P(y3) ... P(yp)

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA (V. DISCRETAS) A cada elemento (X,Y) se le hace corresponder una F(X,Y) suma de los valores que toma la función de probabilidad en los puntos (X,Y) que verifica: F(x,y)=P(Xx; Yy ) F(x,y)= P(X=xi; Y=yj ) Propiedades: 0F(x,y)1 F(x,y) es monótona creciente si x1<x2 entonces F(x1,y)F(x2,y) y si y1<y2 entonces F(x,y1)F(x,y2) x Lim F(x,y)=1 x,y  Lim F(x,y)=0 x,y- 

Una moneda corriente se lanza tres veces Una moneda corriente se lanza tres veces. Sea X =número de caras en los tres lanzamientos, e Y=diferencia en valor absoluto entre el número de caras y el de cruces en los tres lanzamientos. a) Obtener la distribución de probabilidad (X,Y) b) Obtener las distribuciones marginales de X e Y c) Distribución de X condicionada a que Y=3 d) Distribución de Y condicionada a que X=2

VARIABLES ALEATORIAS BIDEMENSIONALES CONTINUAS FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD CONJUNTA Definimos f(x.y) a partir de la derivada respecto de la función de distribución f(x,y) 0 -<x< , -<y< 

VARIABLES ALEATORIAS BIDEMENSIONALES CONTINUAS FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA La función de distribución F(x,y) viene dada por: Propiedades: F(x,y) 0 La probabilidad de la función en todo el espacio muestral es igual 1

La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias continuas X e Y es: x+y para 0<x<1 ; 0<y<1 0 en otro caso a) Probar su estructura de función de densidad b) Encontrar la función de distribución conjunta f(x,y)=

P(1<X<3; 1<Y<2) Encuentre la densidad de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias X e Y cuya función de distribución conjunta es: (1-e-x)(1-e-y) para x>0; y>0 0 en otro caso Utiliza la función de densidad para determinar P(1<X<3; 1<Y<2) F(x,y)=

DISTRIBUCIONES MARGINALES Conociendo la distribución conjunta de la variable (x,y) podemos conocer las distribuciones unidimensionales de X e Y por separado La distribución marginal de Y es aquella distribución cuyas modalidades son las modalidades de Y y cuyas probabilidades son las probabilidades totales de Y. La distribución marginal de X es aquella distribución cuyas modalidades son las modalidades de X y cuyas probabilidades son las probabilidades totales de X. Variables continuas Variables discretas P1(x)=P(x,y) y P2(y)=P(x,y) x

La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias continuas X e Y es: 2/3(x+2y) para 0<x<1 ; 0<y<1 0 en otro caso a) Hallar la distribución de densidad marginal de X y de Y b) Encuentre la densidad condicional de X dado Y=y, y úsela para evaluar P(X1/2 Y=1/2) f(x,y)=

FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN MARGINALES Variables discretas: 1) De X F1(x)=P(Xx; Y< )=P(xi) x 2) De Y F2(y)=P(X<;Y y)=P(yj) y Variables continuas 1) De X 2) De Y

FUNCIONES CONDICIONADAS Función cuantía condicionada Función de densidad condicionada Variables discretas: a un valor cualquiera X fijo P(y/x)=P(x,y)/P1(x) P1( x)>0 a un valor cualquiera Y fijo P(x/y)=P(x,y)/P2(y) P2( y)>0 Variables continuas: a un valor cualquiera X fijo f(y/x)=f(x,y)/f1(x) f1( x)>0 a un valor cualquiera Y fijo f(x/y)=f(x,y)/f2(y) f2( y)>0 Función de distribución condicionada de X F(x/y)=P(Xx/Y=y)=F(x,y)/F2(y) de Y F(y/x)=P(Yy/X=x)=F(x,y)/F1(x)

M(r,s)(b,d)=E[(x-b)r(y-d)s VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Momentos estadísticos M(r,s)(b,d)=E[(x-b)r(y-d)s MOMENTOS NO CENTRADOS O RESPECTO AL ORIGEN b=0 y d=0 Variables discretas r,s=E[(x)r(y)s=  PijXirYjs Variables continuas r,s=E[(x)r(y)s=

1,0=E[(x) 0,1=E[(y) 1,0=E[(x)2 0,2=E[(y)2 1,1=E[(x)(y)

VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES MOMENTOS CENTRADOS O RESPECTO A LA MEDIA b=E(X) y d=E(Y) Variables discretas mr,s=E[(x-E(x))r(y-E(y))s=  Pij(Xi-E(x))r(Yj-E(y))s) Variables continuas mr,s=E[(x)r(y)s=

m1,0=0 m0,1=0 m2,0= 2,0-1,0=x2 m0,2= 0,2-0,1= y2 m1,1=cov(xy)

P(xi/yj)=P(xi) f(x/y)=f1(x) P(yj/xi)=P(yj) f(y/x)=f2(y) También CONDICIÓN DE INDEPENDENCIA ENTRE VARIABLES ALEATORIAS P(xi/yj)=P(xi) f(x/y)=f1(x) P(yj/xi)=P(yj) f(y/x)=f2(y) También Variables discretas pij=p(xi)p(yj) Variables continuas f(x,y)=f1(x)f2(y) F(x,y)=F1(x)F2(y)

Sea Z una variable aleatoria bidimenional formada por las variables X e Y y sea g(z)=g(x,y) una función de z. a) Variables discretas E[g(x,y)=  g(xi,yj)Pij b) Variables continuas E[g(x,y)= Propiedades: E[g(x)+g(y)= E[g(x) +E[g(y) E[g(x)*g(y)= E[g(x) *E[g(y)

Sea Z una variable aleatoria bidimenional formada por las variables X e Y llamaremos vector de varianzas.z2=(x2,y2) a) Variables discretas 2[g(x,y) =  [g(xi,yj)-E[g(x,y)pij b) Variables continuas 2= Propiedades: 2 (x+y)= 2 x+ 2 y 2 (x-y)= 2 x+ 2 y

A partir de la siguiente distribución bidimensional Y X 2 4 6 8 P(yj) 1 0.09 0.3 0.11 0.21 0.71 3 0.05 0.12 0.08 0.04 0.29 P(xi) 0.14 0.42 0.19 0.25 a) Vector de medias b) Calcular E(g(x,y)) donde g(x,y)=x+y