s.axonométrico Y caballera. Tema 12 2º de bachillerato s.axonométrico Y caballera. UNIDAD 6. SISTEMA DIÉDRICO: PUNTO, RECTA Y PLANO 6 UNIDAD 7. SISTEMA DIÉDRICO: POSICIONES RELATIVAS UNIDAD 8. SISTEMA DIÉDRICO: MÉTODOS PRUEBA 3ª UNIDAD 9. SISTEMA DIÉDRICO: FIGURAS 13 UNIDAD 10. SISTEMA AXONOMÉTRICO Y CABALLERA 8 PRUEBA 4ª 35horas de 39 Diseño y desarrollo: Rafael quintero

y caballera tienen, también como objetivo la descripción de las formas INTRODUCCIÓN El sistema axonométrico del que forman parte las perspectivas isométricas y caballera tienen, también como objetivo la descripción de las formas tridimensionales. Es una perspectiva que tiene la ventaja de facilitar un dibujo de gran claridad formal y de fácil interpretación, pero como contrapartida la configuración y las proporciones y dimensiones de los cuerpos sufren modificaciones en sus representaciones.

Se utiliza conjuntamente con el diédrico, el diédrico aporta las formas y proporciones reales del cuerpo y el dibujo axonométrico muestra la apariencia volumétrica total de las piezas o cuerpos.

Fundamentos del sistema axonométrico Todo cuerpo con volumen se estructura sobre tres ejes o direcciones fundamentales, en ellos se distribuyen las tres dimensiones de los objetos, sobre el eje z se colocan las alturas, sobre el eje x las anchuras y sobre el eje y las profundidades. El sistema axonométrico sitúa las aristas básicas de los cuerpos sobre estos tres ejes coordenados y las proyecta sobre una superficie plana equivalente a la hoja del papel y que se denomina plano del cuadro.

Tipos de perspectiva axonométrica Según como estén colocados o dispuestos los ejes en el plano, la perspectiva puede ser: -isométrica, -dimétrica, -trimétrica. La perspectiva isométrica es en la que los ejes forman tres ángulos iguales de 120º cada uno. La dimétrica: los ejes forman dos ángulos iguales y un tercero desigual. La trimétrica: sus ejes forman ángulos de grados diferentes.

ELEMENTOS DEL SISTEMA AXONOMÉTRICO

Dados los ejes, hallar las escalas axonométricas

Dibujar los ejes isométricos

12 Sistema axonométrico Representación del punto 1 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 1 Representación del punto Representación del punto A’: Proyección directa o perspectiva del punto A’1: Proyección horizontal A’2: Proyección vertical primera A’3: Proyección vertical segunda

12 Sistema axonométrico Representación de la recta 2 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 2 Representación de la recta Representación de la recta r: perspectiva de la recta r1: proyección horizontal de la recta r2: proyección vertical primera r3: proyección vertical segunda Hr: traza horizontal de la recta Vr: traza vertical primera Wr: traza vertical segunda Condición para que un punto pertenezca a una recta: la proyección horizontal A1 debe estar en r1, la proyección vertical A2 debe estar en r2 y la proyección vertical segunda A3 en r3 O Y Z X 2 r r 3 H 1 W Wr 2 Hr Vr V A 3 1 2 3 r B 1 3 2 1 r

12 Sistema axonométrico Representación del plano 3 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 3 Representación del plano Representación del plano a1: Traza horizontal del plano a2: Traza vertical primera del plano a3: Traza vertical segunda del plano

12 Sistema axonométrico Rectas contenidas en un plano 4 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 4 Rectas contenidas en el plano Rectas contenidas en un plano Condiciones para que una recta esté contenida en un plano: Recta horizontal de un plano: r1 es paralela a la traza a1 Hr debe estar en la traza a1 r2 es paralela al eje X Vr debe estar en la traza a2 r3 es paralela al eje Y Wr debe estar en la traza a3

Plano definido por dos rectas que se cortan

12 Sistema axonométrico Intersección de recta y plano 6 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 6 Intersección de recta y plano Intersección de recta y plano 1. Se determinan las trazas de la recta r 2. Se dibuja un plano b cualquiera que contenga a la recta r 3. Se halla la recta m de intersección de los planos a y b 4. El punto P de intersección de las recta r y m es la solución

12 Sistema axonométrico Intersección de dos planos 5 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 5 Intersección de planos Intersección de dos planos 1. La intersección de a1 y b1 define la traza horizontal Hr de la recta 2. La intersección de a2 y b2 define la traza horizontal Vr 3. La intersección de a3 y b3 define la traza horizontal Wr 4. La recta r se halla uniendo las trazas Hr, Vr y Wr, que deben estar alineadas 5. Se determinan las proyecciones de la recta

12 Sistema axonométrico 7 Abatimientos Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 7 Abatimientos Abatimiento de punto y de recta situados en planos axonométricos Abatimiento de un punto: Abatimiento de una recta: 1. Se abate el plano axonométrico 1. Se abate el plano axonométrico 2. Por el punto A se traza una recta r 2. Se abate la traza Vr (ó Wr) 3. Se abate la recta r 3. Se abate la recta r, uniendo V0 con P 4. Se abate el punto sobre la recta abatida

12 Sistema axonométrico Perspectiva de la circunferencia 8 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 8 Perspectiva de una circunferencia Perspectiva de la circunferencia Z Y X O 1. Se traza MN, lado de un triángulo fundamental y se abate el plano XY 2. Se traza la recta que pasa por Q y se abate junto con el punto obteniendo Q0 C F E D G A B H 3. Con centro Q0 se dibuja una circunferencia de radio dado. Q Y X O ch N M 4. Se toman puntos de dicha circunferencia y se desabaten B A C E D G F H Q

12 Sistema axonométrico Perspectiva isométrica de la circunferencia 9 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 9 Perspectiva isométrica de una circunferencia Perspectiva isométrica de la circunferencia 1. Se dibuja la perspectiva del cuadrado que circunscribe a la circunferencia 2. Por los puntos B y D se trazan las perpendiculares a los lados opuestos 3. Con centro en O1 y O2 se trazan los arcos de circunferencia En el resto de planos axonométricos: 1. Se dibuja la perspectiva de los cuadrados 2. Se trazan las perpendiculares a los lados opuestos 3. Se trazan los arcos de circunferencia rafa: En este caso se sustituye la elipse por un óvalo que aunque es algo achatado por los extremos del eje mayor resulta muy fácil de dibujar

12 Sistema axonométrico Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 10 Perspectiva de una pirámide apoyada en el plano horizontal Perspectiva de una pirámide apoyada en el plano horizontal 1. Se dibuja la perspectiva del polígono que forma la base de la pirámide 2. Se dibujan las proyecciones del vértice V 3. Se une V con cada uno de los vértices de la base 4. Se unen las proyecciones del vértice con las proyecciones de la base

12 Sistema axonométrico Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 11 Sección de una pirámide con un plano cualquiera Sección de una pirámide por un plano cualquiera Por intersección de aristas con plano O Z Y X 3 V 1. Se halla la intersección de una arista (VB) con el plano b 3 1 a 2 3 m Wm 2. Se procede igual con el resto de aristas P Por homología B' A' N Eje de homología: traza a1 B 3 C D E A E' a 1 Centro de homología: vértice V B A C' E Pareja de puntos homólogos: B y B` C D' V 1 D M 1. Se traza recta de la base que pase por B y D, obteniendo M como punto doble del eje eje 2, Donde la recta MB´ corte a la recta VD obtenemos D´, y así con el resto de vértices

12 Sistema axonométrico Intersección de una pirámide por una recta 12 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 12 Intersección de una pirámide con una recta Intersección de una pirámide por una recta Z Y X O V 3 B C E D A V 2 1. Se toma un plano auxiliar a que contenga a la recta r y a V. A -B 2 C -E D V 2. Se halla la sección que a1 le produce a la pirámide. Puntos F y G unidos con V 3. Los puntos M y N de intersección de la sección con r son el resultado buscado. r 1 P M N Hr 1 a r 1 V 1 B E A C D s G F Hs 1 s

12 Sistema axonométrico Perspectiva isométrica sin reducción 13 Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 13 Perspectiva isométrica sin reducción Perspectiva isométrica sin reducción En la perspectiva isométrica, las medidas reales sobre los ejes, se ven afectadas por un coeficiente de reducción = o,816 2 2 En la practica, por acuerdo general se toma el coeficiente de reducción = 1 Z X Y 1'5 1'5 2 2

12 Sistema axonométrico Ver por curiosidad Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 14 Relación del sistema axonométrico con el sistema diédrico Ver por curiosidad Relación del sistema axonométrico con el sistema diédrico En diédrico, se eligen los planos de proyección de forma que coincidan con los axonométricos 1 p 2 D V 1 A O 2 A -D (a) C B -C B En el axonométrico: 1. Se abate el plano horizontal, obteniendo los ejes X e Y abatidos y se desplaza el origen en dirección Z O Y X Z X'' P X'' Z'' 2. Se abate el plano vertical, obteniendo los ejes X y Z abatidos y se desplaza el origen en dirección Y 2 A -D B -C V Z'' O' Y' X' Sobre los planos axonométricos abatidos, dibujamos las vistas diédricas. V O'' O'' A Los puntos de la perspectiva son la intersección de rectas paralelas a las direcciones de proyección desde cada una de las proyecciones diédricas. Y' X' O' N M D B C 1 C D V B A

Ejemplos de ejercicios: (estos ejercicios están extraídos del libro de texto, fíjate en el número)

Ejemplos de ejercicios: nota: estos ejercicios pertenecen mas bien al tema s. diédrico, pero dada su relación directa es obligado que aparezcan aquí)

Ejercicio de selectividad A partir de la planta y el alzado del sólido, dibujar el perfil derecho

Dibujar en diédrico las vistas necesarias para representar las piezas dadas.

Perspectiva caballera La perspectiva caballera puede entenderse como una variante del sistema axonométrico. En este caso, las proyecciones no son ortogonales sino oblicuas y en la práctica no debe presentar ninguna dificultad para la resolución de problemas ya que se opera como veremos de idéntica manera que ene sistema axonométrico. Pero debemos tener en cuenta unos pilares básicos. Los ejes X y Z forman 90 º El plano formado por los ejes X y Z forman es paralelo al plano del cuadro o papel. Esto quiere decir, que las mediadas tomadas sobre estos ejes y sus paralelas se representan en verdadera magnitud y sin ninguna deformación. En cambio el plano formado por los ejes Z e Y es perpendicular al plano del cuadro. Por lo que las medidas tomadas sobre el eje Y deben llevar reducción El eje Y puede adoptar el ángulo que queramos, pero el m,as aconsejable es –135º con respecto a X, y aplicarle a este eje un coeficiente de reducción de 0,6

Sistema de perspectiva caballera 13 Sistema de perspectiva caballera Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 2 Intersecciones: intersección de dos planos cualesquiera Intersección de dos planos Y O Z X Vr 1 r 3 2 r 2 b 1 3 1 a 2 1. La intersección de a1 y b1 define la traza horizontal Hr de la recta Wr 2. La intersección de a2 y b2 define la traza horizontal Vr 3 a 3. La intersección de a3 y b3 define la traza horizontal Wr Hr 4. La recta r se halla uniendo las trazas Hr, Vr y Wr, que deben estar alineadas 5. Se determinan las proyecciones de la recta

Sistema de perspectiva caballera 13 Sistema de perspectiva caballera Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 1 Representación del punto, recta y plano Punto, recta y plano X O Y Z Y' W V p Coeficiente de reducción a/b H M M H O Y' Z X 3 A 1 2 z A a M' Y A a b a x A a' Y y y A y a A d M' Se abate el plano H sobre el plano de proyección p M Llevamos a sobre el eje Y , b sobre la proyección abatida Yo obteniendo la dirección d Para hallar la dirección que marca el coeficiente de reducción de manera gráfica Transportamos las coordenadas ax y az sobre los ejes X y Z Hallamos la reducción de ay con paralela a d y se trazan las proyecciones del punto

Sistema de perspectiva caballera 13 Sistema de perspectiva caballera Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 3 Intersecciones: intersección de recta y plano Intersección de recta y plano X Y O Z 1 b 3 1. Se determinan las trazas de la recta r r 1 2. Se dibuja un plano b cualquiera que contenga a la recta r 1 a 2 3 a - -m 1 Hm Wm m 3. Se halla la recta m de intersección de los planos a y b 4. El punto P de intersección de las recta r y m es la solución P 1 P Hr Wr

Sistema de perspectiva caballera 13 Sistema de perspectiva caballera Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 5 Perspectiva de una circunferencia Perspectiva de la circunferencia 1. Se abate el plano horizontal y el punto O 2. Con centro en O0 se traza una circunferencia 3. Se elige una serie de puntos y se desabaten En el resto de planos axonométricos: 1. Se dibuja la perspectiva de los cuadrados 2. Con centro en el punto B se traza una circunferencia 3. Con centros en A y C se trazan las elipses como en el caso anterior

Sistema de perspectiva caballera 13 Sistema de perspectiva caballera Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 6 Perspectiva de un prisma apoyado en el plano horizontal Perspectiva de un prisma 1. Se abate el plano horizontal y el punto Q 2. Se dibuja la base del prisma en verdadera magnitud 3. Se desabate la base 4. Por cada vértice de la base se traza una perpendicular al plano horizontal y se transporta la altura del prisma 5. Se dibuja la base superior 6. Se dibujan las proyecciones del prisma

Sistema de perspectiva caballera 13 Sistema de perspectiva caballera Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 7 Sección de un prisma con un plano cualquiera Sección de un prisma Por intersección de aristas con plano 3 a 1 2 Y X O Z 1. Se halla la intersección de una arista (AA’) con el plano obteniendo A’’ 1 b 2 E F D C A B F' E' D' A' B' C' Hm Vm m 2. Se procede igual con el resto de aristas D'' E'' Por afinidad C'' d Eje de afinidad: traza a1 Dirección de afinidad: aristas del prisma AA’ F'' B'' Pareja de puntos afines: A y A` A'' M 1. Se traza recta de la base que pase por A y B, obteniendo M como punto doble del eje -eje 2, Donde la recta MA´´ corte a la recta BB’ obtenemos B´´, y así con el resto de vértices

Sistema de perspectiva caballera 13 Sistema de perspectiva caballera Dibujo Técnico 2.º BACHILLERATO 10 Trazado de perspectiva caballera Perspectiva caballera 2 j = 225º y cr = 2/3 2 Observese que las medidas paralelas a los ejes X y Z están en verdadera magnitud, no así en el eje Y, que van afectadas por el coeficiente de reducción referido 1'5 X Y Z 2 1'5x2/3 2

Ejemplos de ejercicios: (estos ejercicios están extraídos del libro de texto, fíjate en el número)