Métodos de elemento finito 7.4.1. Método de Galerkin 7.4.2. Formulación de elemento finito en 2 dimensiones

Los métodos de elemento finito (MEF) son una estrategia numérica alternativa muy popular para la simulación de el flujo subterráneo. La teoría de elemento finito es más abstracta que los métodos de diferencias finitas (MDF), el (MEF) tiene ventajas significativas sobre el (MDF) en algunas aplicaciones practicas. El (MEF) se basa en considerar al cuerpo o estructura dividido en elementos discretos, con determinadas condiciones de vínculo entre sí, generándose un sistema de ecuaciones que se resuelve numéricamente y proporciona el estado de tensiones y deformaciones.

f(x) es la función buscada, que puede ser en este caso h(x) Se utiliza la teoría de aproximación polinominal presentada en la sección 7.2 como punto de partida en el desarrollo del método, combinando las ecuaciones 7.15 y 7.16 de la sección 7.2 tenemos que: f(x) es la función buscada, que puede ser en este caso h(x) ĥ(x) es la aproximación polinominal de h(x). E(x) es el error de aproximación (7.65)‏

La aproximación clásica para el desarrollo de el método de elemento finito utiliza el concepto de residuos pesados. Para hacer este concepto tan abstracto más concreto, quizá ayude seleccionar una ecuación a la cual se le aplique el (MEF). Si definimos un operador £(x) como una ecuación de flujo de agua subterránea en una dimensión en estado estacionario con una fuente Q(x) tenemos que: Ahora si definimos el residual R(x) como la diferencia entre el valor obtenido de la solución exacta h(x) y el valor obtenido de sustituir ĥ(x). (7.66)‏

Obtenemos la ecuación: Si consideramos que £(h(x))=0 tenemos: Consideremos ahora, una función de peso w(x) que es también función de x. El método de residuos pesados puede ser simplemente definida como: (7.67)‏ (7.68)‏ (7.69)‏

La ecuación anterior afirma que se busca un valor de ĥ(x), tal que la integral en el dominio de X por la función w(x) sea igual a cero. La selección de la función de w(x) indica la naturaleza del método de residuos pesados.

Método de Galerkin La función de peso más comúnmente usada es la misma función utilizada para aproximar la función conocida, ĥ(x). Esta formulación es conocida como el “Método de Galerkin” De la ecuación 7.65 podemos ver que es un polinomio de Lagrange, ℓnj(x) y de la ecuación 7.69 tenemos que: (7.70)‏

El siguiente paso es sustituir la aproximación de ĥ(x) dada por la ecuación 7.65 sin el termino del error. Hay que tener en cuenta que el valor de h(xj) es un número representando la función ĥ(x) con x=xj=j∆x. Si asumimos que I=n=2, podemos utilizar esta información dada en la figura 7.8 con la cual la ecuación anerior queda de la siguiente forma: (7.71)‏ (7.72)‏

Pero conocemos de la ecuación 7.33 que Si tomamos en cuenta la definición de £(x) y la sustituimos en la ecuación obtenemos: Pero conocemos de la ecuación 7.33 que Sustituyendo en la ecuación resulta: (7.74)‏ (7.75)‏ (7.76)‏

Sustituyendo en la ecuación para i=1 Si consideramos para esta ecuación la forma general de los polinomios de Lagrange ecuación 7.13 obtenemos: Sustituyendo en la ecuación para i=1 (7.77)‏ (7.78)‏

Si consideramos que la componente Q es constante en el espacio y no depende de x. Pero esta ecuación es la aproximación de diferencias finitas para la ecuación. (7.79)‏ (7.80)‏

Sin embargo, si consideramos los mismos 3 nodos pero ahora empleando polinomios lineales de Lagrange usando una estrategia ligeramente diferente, podemos obtener una nueva formulación a partir de sustituir la definición de £(h(x)) dentro de la ecuación 7.70. (7.81)‏

La aproximación a h(x) ahora se escribe como: Ahora definimos ĥ(x) usando polinomios lineales de Lagrange como se muestra en la figura 7.9. La aproximación a h(x) ahora se escribe como: donde (7.82)‏ (7.83)‏

La sustitución de la ecuación de la ecuación 7. 82 en 7 La sustitución de la ecuación de la ecuación 7.82 en 7.81 produce, para ecuación generada por la función de peso ℓ1. Inmediatamente surge un problema, puesto que la segunda derivada de una función lineal es cero casi en cualquier lugar tal que la aproximación d2h/dx2 tiende a cero excepto en los puntos nodales, en donde esta es infinita. (7.84)‏

Para esquivar este problema, se puede aplicar la integración por partes de la segunda derivada, donde el resultado para una función de peso, la cual es: Nótese que ℓ1(x)=0 para x=x0 y también para x=x2, por lo que el segundo termino en la ecuación desaparece. (7.85)‏ Ir a 26

Combinando las ecuaciones anteriores con la 7.85 obtenemos que: De la ecuación 7.41 obtenemos la aproximación, y de la ecuación 7.83 tenemos que: De manera similar, Combinando las ecuaciones anteriores con la 7.85 obtenemos que: (7.90)‏ (7.91)‏

Si consideramos que Q es constante rescribimos la ecuación anterior como: Si utilizamos el (MEF) o el (MDF), siempre terminaremos con la misma aproximación numérica de la ecuación de flujo de agua subterránea en estado estacionario en presencia de una fuente constante Q. (7.92)‏

Formulación de elemento finito en 2 dimensiones La extensión de la teoría de elemento finito en 2-D requiere nuevos conceptos. Consideremos la ecuación de flujo de agua subterránea en 2-D independientes del tiempo. Extendemos la representación de la carga hidráulica para 2-D como ĥ(x,y), donde los elementos finitos están representados por rectángulos como se muestran en la figura 7.10. (7.93)‏

Donde ℓij(x,y)≡ℓi(x)ℓj(y) y asumimos que los polinomios de Lagrange son lineales. La función ℓij(x,y) se muestra en la figura 7.11 para el elemento D y el nodo a. La función es lineal para las dos direcciones x y y, sin embargo la línea que se dibuja del nodo a al c no lo es. (7.94)‏

La ecuación de residuos pesados la podemos escribir como:  es el dominio en 2-D que representa el área. El operador £(ĥ(x)) lo definimos ahora como: Introducimos la notación (7.95)‏ (7.96)‏ (7.97)‏

Podemos escribir la ecuación 7.96 como: donde T es el tensor de transmisividad Combinando la ecuación de residuos pesados (7.95) y la definición de la ecuación 7.98 obtenemos: (7.98)‏ (7.99)‏

Aplicando el segundo teorema de Green Aunque la ecuación anterior es análogo a la ecuación 7.85, si expandimos el primer termino de la integral de superficie en la ecuación 7.100 por una función de peso localizada en un punto (xk,yl) esta dada por (7.100)‏ (7.101)‏

Sustituyendo la función ĥ(x) obtenemos: Esta ecuación no puede ser fácilmente simplificada a causa de los productos de los de varios polinomios de Lagrange y sus derivadas. En 2-D la formulación de elemento finito no corresponden a la forma de diferencias finitas, aún cuando Txy=Tyx=0 (7.102)‏ Ir a 34

Como se menciono en el capitulo anterior existen 3 tipos de condiciones de frontera que pueden potencialmente se consideradas. La condición de frontera tipo Dirichlet, que se define como una condición de carga constante en la frontera. El resultado sustituir valores constantes de la carga conocida en la frontera es, una reducción en el número de filas en la matriz. La matriz final contiene el número de ecuaciones no conocidas, que son el número de nodos menos el número de condiciones de frontera Dirichlet

El segundo tipo es la condición de frontera tipo Neumann Para los nodos localizados en la frontera de la región de flujo dentro del elemento puede especificarse, asumiendo que una condición Dirichlet no esta definida a lo largo del segmento de frontera. Para esto se remplaza el termino T· xyĥ(x,y) por un valor de flujo conocido. Así se crea el termino que representa el flujo a través de la frontera en el perímetro.

La forma más popular y por lo tanto la más utilizada para elementos finitos en 2-D son los triángulos en comparación con los rectángulos. La ventaja de los triángulos en 2-D y tetraedros en 3-D en la flexibilidad para la localización de nodos. Para los elementos triangulares no conviene utilizar la notación ij utilizada para los rectángulos. Por el contrario, cada nodo es numerado como se muestra en la figura 7.12.

La ecuación (7.102) y la teoría presentada en este capítulo, tomada para elementos triangulares, difiere solo en la definición de funciones de peso y base fi(x,y). Si usamos fi(x,y) en vez de ℓi(x,y) reconociendo que esta función no es un polinomio de Lagrange en el sentido clasico. Por lo que podemos considerar que a fi(x,y) como una pieza plana del polinomio de Lagrange.

Si consideramos el elemento A en la figura 7. 12 Si consideramos el elemento A en la figura 7.12. La función base identificada con el nodo 2 se asemeja a la figura 7.13.

Puesto que la integración que esta en la ecuación 7 Puesto que la integración que esta en la ecuación 7.102 esta sobre un triángulo, una transformación coordenada se aplica para facilitar los cálculos. Consideremos un ejemplo para ver las ventajas de la flexibilidad de elementos finitos triangulares contra mallas rectangulares. En la figura 7.14 se muestra una malla rectangular generada por la aplicación de diferencias finitas. En la figura 7.15 se muestra una malla triangular generada por la aplicación de elemento finito.

La comparación de las 2 mallas ilustra dos características: La primera, en la vecindad de la localización de un pozo, ambas mallas requieren una gran densidad de nodos. Para el caso de la malla rectangular, las consideraciones geométricas requieren que una línea de nodos una vez empezado debe ser continua en la frontera del modelo. En contraste, la malla de elemento finito, triángulos pequeños reflejan el gran número de nodos cerca del pozo, pero es un decrecimiento gradual en la densidad de nodos.

La segunda característica se puede observar en la parte superior derecha, donde la frontera es oblicua. El número de nodos en la malla rectangular son cerca de 1600 y en la malla triangular son cerca 400. Para el manejo computacional, el considerar mallas triangulares es más eficiente que las mallas rectangulares. Cuando se generan líneas de flujo, se puede utilizar el hecho de que, para un triangulo, el gradiente es constante. Así se construyen las líneas de flujo de un punto arbitrario.