FUNCIONES CUADRÁTICAS PROF. M. ALONSO

Prerrequisitos Resolver una ecuación cuadrática. Evaluar funciones. Hallar los interceptos con los ejes. Escribir la ecuacion de una recta vertical.

Objetivos Trazar la gráfica de una función cuadrática. Hallar las coordenadas del vértice de una parábola. Escribir la ecuación del eje de simetría. Resolver problemas verbales.

Las letras a,b, c representan números reales pero a  0 Definición Una función cuadrática tiene la forma siguiente: Las letras a,b, c representan números reales pero a  0 f(x) = ax2 + bx + c o también y = ax2 + bx + c El dominio, es decir, los valores que asume x, son los reales.

Valores de a,b,c en los ejemplos f(x) = x2 + 6x + 8 f(x) = -3x2 f(x) = 7x2 + 3x + 2 f(x) = -4x2 + 12 Y = 5x2 - x 1 6 8 -3 7 3 2 -4 12 5 -1

Las gráficas de las funciones cuadráticas se llaman parábolas y su forma es la siguiente. Vértice Parábola cóncava hacia arriba Parábola cóncava hacia abajo

Propiedades: Sea f(x) = ax2 + bx + c Note que F(0) = a(0)2 + b(0)+c Propiedades: = c Sea f(x) = ax2 + bx + c Si a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba y si a < 0 la parábola es cóncava hacia abajo. El intercepto en y de la gráfica es (0, c) El intercepto en x se busca resolviendo la ecuación ax2 + bx + c = 0. El vértice es el par ordenado El eje de simetría es la recta vertical

EJEMPLO: Trace la gráfica de f(x) = x2 + 6x + 8 B = 6 C = 8 EJEMPLO: Trace la gráfica de f(x) = x2 + 6x + 8 Como a = 1 > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba. El intercepto en y es el par ordenado (0 , 8) El intercepto en x es: x2 + 6x + 8 = 0 (x + 4)(x + 2) = 0 x + 4 = 0 x + 2 = 0 x = -4 x = -2 Los interceptos en el eje de x son: (-4, 0) y (-2, 0) Note que: F(0) = 02+6(0)+8 = 8

Usamos la fórmula para hallar el vértice: Recuerde a = 1 b = 6 c = 8   f(-3) = (-3)2 + 6(-3) + 8 = 9 – 18 + 8 = -1 El vértice es (-3, -1) El eje de simetría es la recta vertical x = -3.

La gráfica de f(x)=x2+6x+8 es: Eje de simetría es una recta vertical X=-3 Intercepto en y (0,8) 8 Vértice (-3,-1) Punto mínimo

Trace la gráfica de f(x) = 9 - x2 Como a = -1 < 0 la gráfica es cóncava hacia abajo. El intercepto en y es el par ordenado (0 , 9) Los interceptos en el eje de x son:   9 - x2 = 0 (3 - x)(3 + x ) = 0 3 – x = 0 3 + x = 0 x = 3 x = -3 Los interceptos en el eje de x son: (-3, 0) y (3, 0)

Usamos la fórmula para hallar el vértice:   f(0) = 9 - (0)2 = 9 El vértice es (0, 9) El eje de simetría es la recta vertical x = 0.

La gráfica de es: Vértice (0,9) Punto Máximo Intercepto en x (-3,0) Intercepto en x (3,0)

Aplicaciones de la función cuadrática Si se lanza una pelota, ¿ cuál es su altura máxima? ¿Qué dimensiones debe tener un corral para pollos si se quiere maximizar su área? ¿Cuál es el costo mínimo de una empresa que fabrica botellas plásticas? Estas preguntas se pueden modelar mediante una función cuadrática

Observaciones Considere la función f(x) = ax2 + bx + c Si a > 0, o sea a es un número positivo, entonces la función tiene un mínimo cuando x = . Este valor mínimo es . Si a < 0, es decir, si a es un número negativo, entonces la función tiene un máximo cuando la x = . El valor máximo está dado por

Ejemplo Se lanzan fuegos artificiales al aire. La función A(t) = -16t2 +200t + 8 modela la altura (en pies) que alcanzan los mismos en función del tiempo (en segundos). Si se desea que exploten cuando alcancen su altura máxima, ¿ Cuándo deben explotar? ¿A qué altura explotan?

Solución Recuerda la función A(t) = -16t2 +200t + 8 Observamos que la función dada es cuadrática y que a = -16 < 0 por lo tanto , el valor máximo se obtiene cuando : Eso implica que a los 6.25 segundos deben explotar pues es cuando alcanzan su altura máxima.

Solución Para contestar la segunda pregunta , la altura a la cual explotan tenemos que hallar el valor máximo. Este se obtiene evaluando la función en 6.25.

FIN… Recuerda hacer los ejercicios y consultar cualquier duda.