Tema 3: Introducción a la programación lineal AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Tema 3: Introducción a la programación lineal Expresión de un problema de programación lineal Aplicaciones de la programación lineal Soluciones de un problema de programación lineal Resolución gráfica de un problema de programación lineal

Tema 3: Introducción a la programación lineal AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Tema 3: Introducción a la programación lineal Expresión de un problema de programación lineal Definición: Un problema lineal es un programa matemático en el cual la función objetivo es lineal en las variables de decisión y cada restricción es una desigualdad lineal. Además tiene una restricción de signo; es decir, las variables de decisión son no negativas. s.a. s.a. Z, función objetivo, es la medida de efectividad global seleccionada donde representan las variables de decisión. representan los coeficientes de contribución; es decir, incremento que resulta en el objetivo por cada incremento unitario de representan las tasas de uso de la materia prima en la producción de la variable representan los recursos disponibles; es decir, la cantidad disponible del recurso “i” que consume cada unidad de la actividad “j”

Tema 3: Introducción a la programación lineal AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Tema 3: Introducción a la programación lineal Expresión de un problema de programación lineal Forma canónica de un problema de programación lineal s.a. s.a.

Tema 3: Introducción a la programación lineal AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Tema 3: Introducción a la programación lineal Aplicaciones de la programación lineal Una primera aplicación de la P.L. se encuentra en los problemas de “Asignación de Recursos”. Son problemas en los que existen recursos limitados y se busca la utilización máxima. El objetivo es maximizar utilidades. Otra aplicación que responde a un problema de P.L. es el de minimizar pérdidas. La diferencia con el caso anterior es que se deben satisfacer unos requerimientos mínimos. Problema de la mezcla: la mezcla de ingredientes básicos para fabricar productos. No sólo se se restringe a problemas de mezclas de alimentos, bebidas, etc ., también se aplica en el análisis de inversiones.

Tema 3: Introducción a la programación lineal AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Tema 3: Introducción a la programación lineal Soluciones de un problema lineal Definición: Una solución factible es aquella que verifica todas las restricciones de un P.P.L.; es decir, Definición: Se define la región factible como el conjunto de todas las soluciones factibles; es decir, Si , el problema es infactible Definición: Una solución óptima es una solución factible que da el valor más favorable de la función objetivo. Definición: Considérese el sistema de ecuaciones , en donde A es una matriz de dimensión y b un vector de dimensión m. Supóngase que el rango de A es m. Después de un reordenamiento de A, sea donde B es una matriz no singular de dimensión y N matriz singular de dimensión . La solución del sistema de ecuaciones, se denomina solución básica, donde y es el vector nulo.

Tema 3: Introducción a la programación lineal AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Tema 3: Introducción a la programación lineal Soluciones de un problema lineal Definición: Si una o más variables básicas de una solución básica son iguales a cero, se dice que es una solución básica degenerada del sistema. Definición: Si todas las componentes del vector básico de una solución básica son no negativas , entonces x es una solución básica factible del sistema. Si además alguna componente es cero, entonces se denomina solución básica factible degenerada. Teorema Fundamental de la Programación Lineal Dado un P.P.L. en forma estándar donde la matriz de tasas de usos de dimensión y rango Si existe solución factible, existe solución básica factible. Si existe solución factible óptima, existe solución factible básica óptima. Teorema de equivalencia Sea A una matriz de dimensión de rango m, b un vector de dimensión y K un politopo convexo. Un vector x es un punto extremo del politopo, K, si y sólo si x es una solución básica factible del problema de programación lineal.

Tema 3: Introducción a la programación lineal AUTORAS: M.J. García-Ligero Ramírez y P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Tema 3: Introducción a la programación lineal Resolución gráfica de un P.P.L. SI Solución no acotada Representa una curva de nivel asociada con la función objetivo y determina la dirección de máxima optimización ¿La función objetivo se optimiza sin límite? NO NO Solución acotada Determina los puntos extremos candidatos a solución óptima ¿Está acotada? NO SI REPRESENTA LA REGIÓN FACTIBLE ¿Es vacía? Solución única SI Evalúa la función objetivo en los puntos extremos Solución acotada ¿Existe un único punto con valor óptimo? Determina todos los puntos extremos Dos opciones SI Analiza cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible en la dirección de máxima optimización Óptimos alternativos NO Problema infactible