Relaciones y Funciones Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Contenido Relaciones Propiedades de las relaciones Clases de equivalencia Conjuntos parcial y totalmente ordenados Funciones Tipos de funciones (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Tuplas Un par es un conjunto de cardinalidad 2. Un par ordenado*, denotado (a,b), es un par (conjunto de 2 objetos {a,b}) donde (a,b) es considerado diferente de (b,a)., i.e. (a,b)(b,a) En otras palabras, la secuencia de aparición de los elementos a y b importa. …esto es en contraste con un par no ordenado {a,b} donde el orden de aparición no importa, y por ende {a,b} es igual a {b,a}. Por inducción (o de forma recursiva) podemos “ordenar” o enumerar un conjunto de mayor cardinalidad. Una tupla es una lista ordenada de elementos. Dependiendo de la cardinalidad del conjunto hablamos de 0-tupla (la secuencia vacía), 1-tupla (un elemento), 2-tupla (un par ordenado), etc hasta n-tupla (secuencia de n-elementos). *No confundir con las relaciones de orden que veremos luego. Aunque el par ordenado, puede verse como una relación de orden, estrictamente la definición de par ordenado es más sencilla y no requiere de la definición de relación de orden. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Una relación (n-aria) R es un subconjunto del producto Cartesiano de n conjuntos A1x…xAn. R⊆ A1x…xAn R consiste de un conjunto de n-tuplas*, tal que el i-ésimo elemento de la tupla proviene del conjunto Ai. R={(a11,a12,a13),…} Leasé R es un conjunto de conjuntos. *Observa que ya que la tupla es una lista ordenada podría parecer esta definición es cíclica cuando definamos las relaciones de orden, ya que para definir relación tengo que definir orden y para definir orden, como veremos, necesito haber definido la relación. Estrictamente, no tengo que definir la relación de orden como tal, sólo definir el par ordenado que no requiere del concepto de relación. Es decir la definición NO es cíclica. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

© 2016 Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Los diferentes Ai pueden ser conjuntos fundamentales o los conjuntos potencias de conjuntos fundamentales. No hay restricción en la elección del posible subconjunto del producto Cartesiano (asociaciones o tuplas); Cualquier elementos aik de cualquier Ai puede participar en 0, 1 o cualquier número de asociaciones. R Aj Ai *Recuerda; el producto Cartesiano es el conjunto de n-tuplas ordenadas. © 2016 Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones En una relación R de n conjuntos A1x…xAn. Al propio conjunto R de n-tuplas se le denomina regla de asociación*. Ai se denominan los dominios de la relación A n se le denomina el grado de la relación, y se cumple que n≥0. Dependiendo del valor de n la relación se denomina n-aria. *Observa lo que parecería una ambigüedad ya que R se refiere a la relación y a la regla de asociación. Esto es absolutamente correcto, y no una ambigüedad, ya que la relación es la regla de asociación entre los dominios. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Ejemplo: R=AxBxC B C A R { , , } { , , } { , , } (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Ejemplo: Supongamos los conjuntos: Alumno={Juan, María, Pepe, Luis, Pedro} Profesor={Santiago, Pilar, Pablo, Rosa} Asignatura={Matemáticas, Lengua, Filosofía} Horario={10am, 11am, 12pm, 13pm} La relación 4-aria Rcurso se define sobre los dominios anteriores: Rcurso ={(Juan, Santiago, Lengua, 11am), …} (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

© 2016 Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones En particular, si n=2 entonces se dice que la relación es binaria y a menudo se denota: XRY donde: X se conoce como el dominio, Y el co-dominio, y R es la regla de correspondencia, o regla de asociación. R Y X © 2016 Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Más formalmente, una relación binaria (n=2) R de un conjunto A a otro conjunto B es un subconjunto del producto cartesiano AxB (R⊆AxB) tal que si los elementos a∊A y b∊B están relacionados entonces (a,b)∊R Esto lo se denota ARB en el caso de referirse a la relación de los conjuntos, o aRb en el caso de referirse a la relación de los elementos y se lee “A/a está relacionado con B/b” A se denomina el conjunto dominio o inicio B se denomina el conjunto codominio o destino Si los “dos” conjuntos son el mismo, i.e. A=B, entonces se dice que R es una relación binaria sobre A. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Ejemplo: Relacion “divisible por” (resto 0) Sea el conjunto A={2,3,4,5,6,7,8} Sea la relación binaria sobre A, R/ Entonces: R/ ={(x,y)∈AxA | mod(y,x)=0} = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6), (4,4), (4,8),(5,5), (6,6), (7,7),(8,8)} Ejemplo corregido de: [http://www.youtube.com/watch?v=h34hZ_hynzE] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Ejemplo: Relacion “cuadrado de” Sea el conjunto A={ℝ} de los números reales Sea la relación binaria sobre A, R^2 Entonces: R^2 ={(x,y)∈ℝ2 | y=x2} (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Ejemplo: Relacion “menor que” Sea el conjunto A={1,2,3,4} Sea la relación binaria sobre A, R< Entonces: R< ={(x,y)∈AxA | x<y} = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)} ☞ Más adelante, veremos que esta relación cumple que es una relación de orden o simplemente un orden (es decir que tiene las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva). Ejemplo de: [http://www.youtube.com/watch?v=h34hZ_hynzE] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Sean dos conjuntos B={b1, …, bn} y C={c1, …, cm} y la relación R⊆BxC. Se denomina matriz de adyacencia AR a la matriz* de tamaño nxm cuyas filas indexan a B y sus columnas indexan a C de tal forma que: * Una matriz se define como un vector de rango 2 (relación binaria). Un vector se define como un conjunto de elementos estructurados en sólidos rectangulares. Estructurados significa que el conjunto está dotado de una estructura algebraica. Una estructura algebraica es un conjunto de operaciones (relaciones de tipo función –relaciones con a lo sumo 1 imagen por cada elemento del dominio- sobre el conjunto potencia). (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Ejemplo: Matriz de adyacencia a b c d X Figura de [http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Relations_%28mathematics%29] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones A partir de la matriz de adyacencia es fácil definir/dibujar un grafo dirigido* o dígrafo que represente la relación: b a a b c d X c d * Sea V un conjunto de elementos que se denominan nodos. Sea E una relación (binaria) sobre V, E:VxV, donde a cada elemento de E se denomina arista. Un grafo G es una relación E, aunque por conveniencia normalmente se indica de forma explícita el conjunto de nodos; G=<V,E>. El grafo dirigido o dígrafo es aquel en el que las aristas son pares ordenados. Figuras de la matriz de adyacencia: [Wikipedia] Figuras de los grafos: [Elaboración propia] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones ¡Cuidado! Aunque la matriz de adyacencia y/o el grafo asociado a la relación son representaciones convenientes, estrictamente una relación es más que sólo su matriz de adyacencia o su grafo. Dos relaciones R1 y R2 con el mismo grafo pero diferentes dominios son diferentes. Ejemplo: R1={(1,2),(1,3)} definida sobre los enteros Z, es diferente de R2={(1,2),(1,3)} definida sobre los reales R. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Sea RSxT (o bien SRT) una relación del conjunto S al conjunto T S seria el dominio T sería el codominio, y R la regla de asociación Para cada elemento s∈S podemos definir el conjunto: [s]R={t∈T | (s,t)∈R} A este se le conoce como el conjunto imagen de s, o sea, los 1s de la fila s en la matriz de adyacencia. …y se denota más comúnmente como R(s): R(s)=[s]R Al subconjunto de los elementos de T que pertenecen a algún conjunto imagen definidos por la relación se le denomina rango*, Rango(R)={t∈T | sS:(s,t)∈R}. *¡Cuidado! En algunas fuentes verás que los términos co-dominio y rango se usan de forma indistinta. No es problema, siempre y cuando lo definas sin ambigüedad. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Sea RSxT (o bien SRT) una relación del conjunto S al conjunto T. S seria el dominio T sería el codominio, y R la regla de asociación De igual forma, para cada elemento t∈T podemos definir el conjunto: [t] R={s∈S | (s,t)∈R} A este se le conoce como el conjunto pre-imagen de t. o sea, los 1s de la columna t en la matriz de adyacencia ☞ No tenemos un símbolo especial para denotar a este conjunto, aunque en determinadas circunstancias coincide con R-1. *¡Cuidado! A veces por extensión se denomina dominio al conjunto de todos los elementos que pertenecen a algún conjunto pre-imagen. No es problema, siempre y cuando lo definas sin ambigüedad. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Algunas relaciones específicas: La relación vacía R∅ entre los conjuntos X e Y, o sobre un conjunto A es el conjunto vacío ∅. La relación vacía es falsa para todos las tuplas La relación completa o universal R entre los conjuntos X e Y, o sobre un conjunto A es el conjunto completo del product Cartesiano XxY, o bien AxA. La relación completa es verdadera para todos las tuplas La relación identidad RI sobre un conjunto A es el conjunto {(a,a,…,a) | a∈A}. La relación completa es verdadera para aquellas tuplas en que todos los elementos de la tupla son idénticos (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Una relación (binaria) también se puede expresar por tabla de tuplas Esto es conveniente por ejemplo cuando las relaciones no son binarias, …o cuando son binarias pero hay pocas tuplas válidas pero dominios “grandes” A B 2 a 5 b c 11 A B C 2 a  5 b  c  11  (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Una relación (binaria) también se puede expresar por una ecuación. Esto es conveniente por ejemplo cuando el dominio y/o el rango ya no son discretos. Además las tuplas de la relación pueden ser representadas en el plano. Ejemplo: x=y2 Ejemplo de: [Migliore Ed (????) Introduction to relations and functions] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Ejercicios Ejercicio: Determine el dominio, el co-dominio y rango de la relación: B A a 2 c 4 d -5 (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Ejercicios Ejercicio: Solución: Dominio = {2,4,-5} Codominio = {a,c,d} Rango = {c,d} (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Ejercicios Ejercicio: Determine el dominio y rango de la relación: Ejercicio reproducido de: [Migliore Ed (????) Introduction to relations and functions] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Ejercicios Ejercicio: Solución: Dominio = {x | -8  x  8, xℝ} Rango = {y | -8  y  8, yℝ} (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Propiedades de las relaciones (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Propiedades de las relaciones Una relación binaria sobre A es: Reflexiva si ∀x∈A ⇒ xRx, léase (x,x)∈R Irreflexiva si ∀x∈A ⇒ (x,x)∉R Transitiva si xRy e yRz ⇒ xRz Simétrica si xRy ⇔ yRx Antisimétrica si xRy e yRx ⇒ x=y (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Observa que para que sea reflexiva, toda la diagonal principal debe tener 1s en la matriz de adyacencia, …o de forma equivalente en el grafo todos los nodos deben tener flechas hacia si mismos: Reflexivo No Reflexivo a b a b c d X a b a b c d X c d c d Figuras de la matriz de adyacencia: [Wikipedia] Figuras de los grafos: [Elaboración propia] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Observa que para que sea irreflexiva, ningún elemento de diagonal principal debe tener 1s en la matriz de adyacencia, …o de forma equivalente en el grafo ningún nodo deben tener flechas hacia si mismo: a b a b c d X c d Figuras de la matriz de adyacencia: [Wikipedia] Figuras de los grafos: [Elaboración propia] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Observa que para que la relación sea simétrica, la matriz de adyacencia debe ser simétrica*, …o de forma equivalente en el grafo todos los enlaces deben ser bidireccionales: b a b c d X a Simétrica c d * Aún no he definido simetría en matrices, pero por ahora, baste decir que una matriz (cuadrada) es simétrica si para aij=aji, ∀i,j ij Figuras: [ambas elaboración propia] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Relaciones Observa que para que la relación sea antisimétrica, la matriz de adyacencia no puede tener pares relacionados simétricos fuera de la diagonal …o de forma equivalente en el grafo no puede haber ciclos (salvo los de longitud 1): b a b c d X a Antisimétrica c d * Aún no he definido simetría en matrices, pero por ahora, baste decir que una matriz (cuadrada) es simétrica si para aij=aji, ∀i,j ij Figuras: [ambas elaboración propia] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Propiedades de las relaciones Ejemplo: La relación binaria R< sobre A es: ¿Reflexiva?: No, ya que para ningún x∈A ⇒ xRx ¿Irreflexiva?: Si, ya que para todo x∈A ⇒ x≮x ¿Transitiva?: Si, ya que si x<y e y<z ⇒ x<z ¿Simétrica?: No, ya que si x<y entonces y≮x ¿Antisimétrica?: No, ya que no es posible que x<y e y<x a la vez (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Propiedades de las relaciones Ejemplo: La relación binaria R≤ sobre A es: Reflexiva: Si, ya que para todo x∈A ⇒ x≤x Irreflexiva: No, ya que para todo x∈A ⇒ x≤x Transitiva: Si, ya que si x≤y e y≤z ⇒ x≤z Simétrica: No, ya que si x≤y entonces no necesariamente y≤x Antisimétrica: Si, ya que si x≤y e y≤x a la vez, entonces x=y (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Clases de equivalencia (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Clases de equivalencia Una relación binaria R sobre un conjunto S se dice que es una relación de equivalencia si y sólo si posee las siguientes propiedades: Reflexiva Simétrica, y Transitiva (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Clases de equivalencia Ejemplo: La relación binaria R= sobre A es: Reflexiva: Si, ya que para todo x∈A ⇒ x=x Transitiva: Si, ya que si x=y e y=z ⇒ x=z Simétrica: Si, ya que si x=y entonces y=x …por ende; la relación “igual que” es una relación de equivalencia. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Clases de equivalencia NOTA: Acorde al postulado de las paralelas de Euclídes; Si un segmento de línea intersecta a dos líneas rectas (en una geometría plana) formando dos ángulos interiores en el mismo lado de la línea que las intersecta que sumen menos que dos ángulos rectos, entonces las dos líneas rectas, si se extienden de forma infinita, se encuentran en el mismo lado de los ángulos cuya suma es menor a la de dos ángulos rectos. Este es el 5º póstulado y es el que determina la geometría Euclídea. Para conocer todos los postulados, puedes consultar las diapositivas de reserva. Ejemplo: La relación R|| de rectas paralelas en el plano es una relación de equivalencia: Reflexiva: Si, ya que para toda x∈A ⇒ x||x Transitiva: Si, ya que si x||y e y||z ⇒ x||z Simétrica: Si, ya que si x||y entonces y||x ¡Cuidado! Este símbolo es también el que se usa para denotar elementos no comparables!...pero no confundas abuso de notación con ambigüedad Figura de: [mathsmadness.wikispaces.com] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Clases de equivalencia Ejemplo: La relación binaria R≥ sobre A es: Reflexiva: Si, ya que para todo x∈A ⇒ x≥x Transitiva: Si, ya que si x≥y e y≥z ⇒ x≥z Simétrica: No, ya que si x≥y entonces no necesariamente y≥x …por ende; la relación “mayor que” NO es una relación de equivalencia. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Clases de equivalencia Sea R una relación de equivalencia del conjunto S al conjunto T. Recuerda, el conjunto imagen de s en una relación es [s]R=R(s)={t∈T | (s,t)∈R} Al conjunto imagen de s en una relación de equivalencia se le conoce como la clase de equivalencia de s, y se denota s~t. [s]R=R(s)={t∈T | s~t} (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Clases de equivalencia Bajo una relación de equivalencia, si a y b están relacionados entonces son equivalentes a~b. Formalmente; Bajo una relación de equivalencia sobre el conjunto S, se cumple que: Si b∈[a]R entonces [b]R=[a]R (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Clases de equivalencia Ejemplo: Supongamos un conjunto S={1,2,3,4,5} con la siguiente relación R: R={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3),(4,4),(5,5)} Podemos comprobar que la relación es: Reflexiva: x∈A ⇒ xRx Simétrica: xRy ⇔ yRx, y Transitiva: xRy, yRz ⇒ xRz Y por ende, R es una relación de equivalencia 1 2 3 4 5 x (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Clases de equivalencia Ejemplo (Cont.): Ya que R es una relación de equivalencia, podemos establecer las clases de equivalencia: [x]R=R(x)={yS | x~y} En particular [1]R={1,2,3} [3]R={1,2,3} [5]R={5} [2]R={1,2,3} [4]R={4} Lo que podemos resumir como [1]R=[2]R=[3]R={1,2,3} [4]R={4} [5]R={5} El conjunto de todas las clases de equivalencia de R sería: {{1,2,3},{4},{5}}. Observa que elementos equivalentes, tienen clases de equivalencia iguales (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Clases de equivalencia Ejemplo: La relación R entre los números racionales R={(x,y)ℚ2 | y=kx ; kℝ-{0}} es una relación de equivalencia*: Reflexiva: Si, ya que para toda xℚ ⇒ x=kx, basta que k=1ℝ. Transitiva: Si, ya que si x=k1y e y=k2z ⇒ x=k3 z, con k3=k1k2ℝ Simétrica: Si, ya que si x=ky entonces y=(1/k)x y 1/kℝ. Observa que k no puede ser 0. Ejemplo: ½=2/4=3/6=… 1/3=2/6=3/9=… … Cada una de estas forma una clase de equivalencia en R. * Estrictamente se debe exigir además que el denominador del número racional sea distinto de 0. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Clases de equivalencia Una relación de equivalencia ~ particiona* el conjunto S en clases de equivalencia mutuamente excluyentes o disjuntas. ☞ A veces verás que a la partición misma también se le llama la clase de equivalencia. Observa que no es una ambigüedad, ¡estrictamente es lo mismo! También se cumple que; dada una partición del conjunto S entonces existe una relación de equivalencia ~ sobre S. * Recuerda: Una partición de un conjunto X es un conjunto no vacío de subcojuntos de X tal que cada elemento x en X se encuentra exactamente en uno de los subconjuntos (i.e., X es una union disjunta de estos subcojuntos). (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Clases de equivalencia Definir las clases de equivalencia permite definir a continuación: Operaciones sobre estas clases de equivalencia usando representantes individuales de cada clases de equivalencia. Nuevos conjuntos a partir de los ya definidos (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Clases de equivalencia ☞ Aunque no la definiré aquí, una relación de equivalencia importante y muy útil es la que podemos definir entre los puntos de un espacio, y los vectores. Esta relación, una vez definida, permite operar con vectores como si fuesen puntos en un espacio (o viceversa, según lo quieras entender) y es la base de todo el cálculo vectorial. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Ejercicios Ejercicio: Describa mediante la matriz de adyacencia todas las relaciones de equivalencia para los conjuntos: S1={1} S2={1,2} S3={1,2,3} a b c d X (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Ejercicios Ejercicio (Cont.): Sea S1={1} Sólo hay una posible relaciones de equivalencia: Obviamente es reflexiva, simétrica y transitiva. 1 X Elementos tomados de 1 en 1 (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Ejercicios Ejercicio (Cont.): Sea S2={1,2} Las posibles relaciones de equivalencia son: Es trivial ver que ambas son reflexivas, simétricas y transitivas. 1 2 X 1 2 X Elementos tomados de 1 en 1 Elementos tomados de 2 en 2 (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Ejercicios Ejercicio (Cont.): Sea S3={1,2,3} Las posibles relaciones de equivalencia son: Es fácil ver que ambas son reflexivas, simétricas y transitivas. 1 2 3 X Elementos tomados de 1 en 1 1 2 3 X 1 2 3 X 1 2 3 X Elementos tomados de 2 en 2 1 2 3 X Elementos tomados de 3 en 3 (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Ejemplo Elementos tomados de 1 en 1 Este es el conjunto de todas las posibles relaciones de equivalencia para S5={1,2,3,4,5} Figura: [https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation] Elementos tomados de (2,1,1,1) en (2,1,1,1) Elementos tomados de (3,1,1) en (3,1,1) Elementos tomados de (2,2,1) en (2,2,1) Elementos tomados de (4,1) en (4,1) Elementos tomados de (3,2) en (3,2) Elementos tomados de 5 en 5 (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Conjuntos parcial y totalmente ordenados (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Conjuntos parcialmente ordenados Una relación R (⊑) sobre un conjunto S, denotada (S,⊑), se dice que es un orden o relación de orden si posee las siguientes propiedades: Reflexiva Antisimétrica, y Transitiva Al par del conjunto S con su relación de orden ⊑, (S,⊑) se le llama conjunto parcialmente ordenado, o poset. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Conjuntos parcialmente ordenados Ejemplos: La relación (ℤ+,<) NO es un orden parcial ya que no cumple la propiedad reflexiva. Reflexiva: No, ya que no se cumple que para todo x∈ℤ+ ⇒ x<x. No es necesario seguir “probando” las otras propiedades ;) (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Conjuntos parcialmente ordenados Ejemplos: La relación de divisibilidad (ℤ+,|) es un orden parcial; NOTA: La relación de divisibilidad a|b (a “divide” a b) implica que kℕ: b=ka. Reflexiva: Si, ya que para toda xℤ+ ⇒ x|x=1, i.e. x es divisible por si mismo. Transitiva: Si, ya que si x|y=k1 e y|z=k2 ⇒ x|z=k1k2 Ejemplo: x=3, y=6, z=12 x|y=3|6=2, y|z=6|12=2, x|z=3|12=22 Antisimétrica: Si, ya que si x|y=k entonces NO se cumple que y|x a menos que x=y Observa que: y|x=(1/k), pero 1/kℕ excepto si k=1, y entonces x=y. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Conjuntos totalmente ordenados Ley (o propiedad) de tricotomía: Dado un conjunto S parcialmente ordenado por la relación ⊑ se dice que es tricótoma, o comparable, o que cumple con la ley (o propiedad) de tricotomía si cumple que: Para cada par de elementos x e y sólo se cumple una de las tres sentencias; x ⊏ y y ⊏ x x = y (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Conjuntos totalmente ordenados Para cada par x e y en los que se cumple la tricotomía se dice que x e y son comparables bajo la relación ⊑. …y la relación es comparable si todos los pares son comparables. Analogamente, se dice que x e y no son comparables si x⋢y e y⋢x (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Conjuntos totalmente ordenados Una relación R (⊑) sobre un conjunto S, denotada (S,⊑), se dice que es un orden total si posee las siguientes propiedades: Reflexiva Antisimétrica Transitiva, y Comparable o Tricótoma Al par del conjunto S con su relación de orden ⊑, (S,⊑) se le llama conjunto totalmente ordenado. Orden parcial (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Conjuntos totalmente ordenados Sean dos elementos x,y∈(S,⊑):  Ya sabes; Se dice que x e y son comparables si x⊏y o y⊏x o x=y Si cualquier par x e y son comparables entonces la relación es un orden lineal o total. Un conjunto con un orden total es un conjunto totalmente ordenado. O sea, un conjunto parcialmente ordenado donde todos los pares de elementos son comparables; en otras palabras. Un orden total es un orden parcial que además es comparable. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Conjuntos parcialmente y totalmente ordenados Teorema: Si ⊑ es un orden parcial sobre el conjunto S, entonces el (di-)grafo asociado es un grafo acíclico (no contiene ciclos de longitud mayor a 1). Demonstración: Puedes encontrarla en [Kolman, B; Busby, RC y Ross, S. (1997) Cap. 7 “Relaciones y estructuras de orden“, del libro “Estructuras de matemáticas discretas para la computación”, pg. 230, Pearson education.] Corolario: S contiene un elemento máximo y un mínimo …pero no tienen que ser únicos, …ni tienen que existir Ejemplo: (ℝ,≤) (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Diagrama de Hasse El Diagrama de Hasse es una representación gráfica simplificada de un conjunto parcialmente ordenado finito (S, ⊑), donde: 1) Cada elemento del conjunto se indica como un punto. Se dibujan aristas entre los elementos del conjunto y sus predecesores inmediatos …si y sólo si solo si uno sigue a (acorde a la indexación impuesta por la relación de orden parcial) otro sin haber otros elementos intermedios. Figura de: [http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Hasse] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Diagrama de Hasse El Diagrama de Hasse es una representación gráfica simplificada de un conjunto parcialmente ordenado finito (S, ⊑ ), donde: 2) No se representa la propiedad reflexiva Cómo el conjunto está parcialmente ordenado no contiene ciclos otros que los de longitud 1 (por el teorema anterior); es decir los reflexivos, y por ende pueden ser “eliminados” de la representación. No es que no existan; sólo que son triviales, y por ende no es necesario indicarlos. Figura de: [http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Hasse] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Diagrama de Hasse El Diagrama de Hasse es una representación gráfica simplificada de un conjunto parcialmente ordenado finito (S, ⊑ ), donde: 3) No se representa la propiedad transitiva Si a⊑b y b⊑c, se representan las aristas de a a b y de b a c, pero ya no es necesario indicar la de a a c. Figura de: [http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Hasse] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Diagrama de Hasse Formalmente; Sea conjunto parcialmente ordenado finito (S,⊑) Se define el diagrama de Hasse como el conjunto de todos los pares ordenados (x,y) tales que y sigue a x (x⊑y) y no hay elemento de S entre x e y (∄zS: x⊑z⊑y). …y se puede representar como un grafo. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Diagrama de Hasse Ejemplo: Del grafo de la relación al diagrama de Hasse. Sea el conjunto S={1,2,3,4,12} y el orden parcial ⊑ dado por la relación divisibilidad en S; R⊑={a⊑b ; a|b, a,bS}. El dígrafo asociado a R⊑ sería: 12 4 3 2 1 (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Diagrama de Hasse Ejemplo: Del grafo de la relación al diagrama de Hasse. Sea el conjunto S={1,2,3,4,12} y el orden parcial ⊑ dado por la relación divisibilidad en S; R⊑={a⊑b ; a|b, a,bS}. …y el diagrama de Hasse equivalente sería: 12 4 3 2 1 (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Diagrama de Hasse Para un orden total, el diagrama de Hasse siempre toma una forma lineal. d c b a (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Diagrama de Hasse El diagrama de Hasse, entre otras aplicaciones, es particularmente útil para: Decidir si dos elementos son comparables (i.e. uno es alcanzable desde el otro) Decidir si un orden es total Identificar los elementos característicos de un conjunto ordenado: Maximales y minimales, máximos y mínimos, cota superior e inferior, supremo e ínfimo.  Aquí no las veremos por cuestiones de tiempo pero puedes encontrar las definiciones de estos elementos en [GonzalezGutierrezFJ2004, Apuntes de Matemática Discreta, Cap 7. Relaciones de Orden, Universidad de Cádiz; http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1710003/Apuntes/Leccion7.pdf] Detectar isomorfismos Kolman, B; Busby, RC y Ross, S. (1997) Cap. 7 “Relaciones y estructuras de orden“, del libro “Estructuras de matemáticas discretas para la computación”, Pearson education.] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina funciones (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Funciones Función matemática: Una relación binaria* que asocia miembros (subconjunto) de un conjunto origen con miembros de otro conjunto destino, que cumple que: En ambos conjuntos puede haber miembros no asociados pero, para aquellos miembros de A para los que existe una relación, esa es una relación única. PERO: En aquellos elementos de A para los que no existe una relación se dice que la función no está definida, y formalmente esos elementos NO pertenecen al dominio …de hecho, a veces, se indica que la función requiere que CADA elemento de A tenga una imagen. Del mismo miembro origen no pueden salir más de una relación. Miembros del conjunto destino sin embargo, si pueden recibir varias relaciones. A B * Notesé que esto NO es una restricción ya que A1xA2x…xAn  B1xB2x…xBn es lo mismo que CD siendo C=A1xA2x…xAn y D=B1xB2x…xBn * Las definiciones formales las podéis encontrar en libros, o en Wolfram World of Maths [http://mathworld.wolfram.com/] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Funciones Al conjunto de elementos del conjunto A para los que está definida la función se le conoce como dominio. dominio ⊆ A Al conjunto de elementos del conjunto B que la función puede producir se le conoce como rango. rango ⊆ B B sigue siendo conocido como codominio (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Funciones Todas las funciones son relaciones, pero no al revés. Tabla de: [http://www.purplemath.com/modules/fcns.htm]* Observa que el último ejemplo en esta web (omitido aquí) es erróneo; está marcado como no función, pero si es una función! (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Funciones Ejemplo: Estas NO son funciones [www.mathsisfun.com] [www.mathcaptain.com] [en.wikipedia.org] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Funciones Por supuesto, como son relaciones, las funciones admiten las representaciones que ya hemos visto; Matriz de adyacencia Tabla Grafo (si es sobre un conjunto S) Ecuación …y por supuesto, en el plano. A B 2 a 5 b 6 c 11 (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Funciones Como las funciones son relaciones binarias, cuando el dominios A y co-dominios B son subconjuntos de los reales (A,Bℝ), pueden ser fácilmente representadas en el plano. Por defecto, el dominio se representa en el eje de abcisa, y el co-dominio en las ordenadas. B A (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Funciones Ejemplos: Podemos utilizar un círculo vacío para denotar que ese par no pertenece a la función (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Funciones Con la representación en el plano, un truco para decidir si una relación es una función es el llamado test de la línea vertical. En este test, se traza una línea vertical imaginaria y se “desplaza” de forma perpendicular al eje de abscisa. En una función, la línea vertical no puede intersectar a la relación en más de un punto a la vez. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Funciones Ejemplos: No es función No es función (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Ejercicios Ejercicio: Sea la función y=f(x). Encuentre: a) f(0) b) f(-2) c) Los valores de x para los que f(x)=0 d) Los valores de x para los que f(x)=-4 Ejercicio reproducido de: [Migliore Ed (????) Introduction to relations and functions] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Ejercicios Ejercicio (Cont.): Solución: a) f(0) = 3 b) f(-2) = 1 c) Los valores de x para los que f(x)=0: x={-4,3} d) Los valores de x para los que f(x)=-4: x=-5 Ejercicio reproducido de: [Migliore Ed (????) Introduction to relations and functions] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Ejercicios Ejercicio: Encuentre el dominio de la función: a) f(x)=(x+7)/(2x+1) b) g(t)=t2-3t Ejercicio reproducido de: [Migliore Ed (????) Introduction to relations and functions] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Ejercicios Ejercicio (Cont.): Solución: a) f(x)=(x+7)/(2x+1) La función no está definida si 2x+1 = 0. Entonces; no está definida si x=1/2 Por lo que el valor 1/2 debe ser excluido del dominio. En notación de intervalo: D(f) = (-,1/2) ∪ (1/2,) En notación de conjunto: D(f) = ℝ\{1/2} De forma gráfica: Ejercicio reproducido de: [Migliore Ed (????) Introduction to relations and functions] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Ejercicios Ejercicio (Cont.): Solución: b) g(t)=t2-3t La función g no tiene restricciones en el dominio, ya que cualquier asignación de un valor a t producirá un valor g(t) válido. Por lo tanto, el dominio queda: En notación de intervalo: D(f) = (-, ) En notación de conjunto: D(f) = ℝ De forma gráfica: Ejercicio reproducido de: [Migliore Ed (????) Introduction to relations and functions] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Tipos de funciones (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Tipos de funciones Inyectiva (o uno-a-uno): Cada elemento del conjunto codominio es cómo máximo la imagen de un único elemento del dominio En otras palabras, dos elementos no pueden tener la misma imagen. Sobreyectiva: Cada elemento del codominio tiene al menos una preimagen En otras palabras, la imagen es el codominio completo; rango=B Biyectiva: Inyectiva + Sobreyectiva ☞ El término uno-a-uno estrictamente describe a las funciones inyectivas [Cameron PJ (2006) Notes on Algebraic Structures]. No obstante, ya que las biyectivas también son inyectivas, muchas veces vereis que a estas también se las denomina funciones uno-a-uno. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Tipos de funciones Formalmente [Cameron PJ (2006) Notes on Algebraic Structures]: Inyectiva: a1a2  f(a1)f(a2) Alternativamente, también verás a veces [ Brin (2011) Modern Algebra]; a1,a2: f(a1)=f(a2)  a1=a2 Sobreyectiva: b:a tal que b=f(a) Biyectiva: Inyectiva y sobreyectiva. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Tipos de funciones Ejemplo: Inyectiva y no sobreyectiva Ejemplo de: [http://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Tipos de funciones Ejemplo: No inyectiva pero sobreyectiva Ejemplo de: [http://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Tipos de funciones Ejemplo: Inyectiva y sobreyectiva (biyectiva) Ejemplo de: [http://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Tipos de funciones Dependiendo de la certidumbre en el valor de la imagen podemos considerar dos tipos de relaciones: Determinista o Funcionales: y=f(x,) Estocásticas: y=f(x,)+ Donde  representa la parte incierta de la relación. ☞ Aunque este tipo de funciones tiene mayor relevancia en las áreas de probabilidad y estadística, estrictamente son más generales. Por ejemplo, pueden representar aproximaciones sencillas a relaciones más complejas. Por ejemplo, en fNIRS puedes decidir aproximar con la MBLL la relación dada por la RTE. Esta división es únicamente por fines prácticos ya que las relaciones deterministas son sólo el caso donde =0. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

© 2016 Dr. Felipe Orihuela-Espina Tipos de funciones Figura de: [http://biplot.usal.es/ALUMNOS/BIOLOGIA/5BIOLOGIA/Regresionsimple.pdf] © 2016 Dr. Felipe Orihuela-Espina

© 2015. Dr. Felipe Orihuela-Espina Serie de Taylor La serie de Taylor es una aproximación a una función mediante infinitos términos calculados a partir de las derivadas. Decimos que una función es analítica si y solo sí su serie de Taylor sobre x0 converge a la función en alguna vecindad para cada x0 de su dominio. © 2015. Dr. Felipe Orihuela-Espina

© 2015. Dr. Felipe Orihuela-Espina Serie de Taylor Dada una función f podemos aproximar y mediante la expansión de la serie de Taylor: f’ y f’’ representan la primera y segunda derivada respectivamente. En funciones vector-valuadas corresponden con las matrices Jacobina o Jacobiana J y la Hesiana H. © 2015. Dr. Felipe Orihuela-Espina

© 2015. Dr. Felipe Orihuela-Espina Serie de Taylor Aproximando por la serie de Taylor Figura de: [https://www.clear.rice.edu/comp130/12spring/predprey/] © 2015. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Tipos de funciones Dependiendo de la aproximación utilizada (i.e. del número de términos necesarios) distinguiremos funciones: Constantes Lineales Cuadráticas Cúbicas Etc. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Tipos de funciones Decimos que una función es: Constante si la aproximación usando sólo el término correspondiente a la derivada 0-ésima de la serie de Taylor es suficiente. En otras palabras, si yf(x0) es una aproximación aceptable. En una función determinista es trivial determinar si es lineal ya que debe ocurrir; y=f(x0) ☞ …o si estás más acostumbrado; y=b ;) En una función estocástica depende del error que estés dispuesto a asumir. Corolario: Una función constante no depende de ninguna variable. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Tipos de funciones Decimos que una función es: Lineal si la aproximación usando sólo el primer término de la serie de Taylor es suficiente. En otras palabras, si yf(x0)+f’(x)(x-x0) es una aproximación aceptable. En una función determinista es trivial determinar si es lineal ya que debe ocurrir; y=f(x0)+f’(x)(x-x0) ☞ …o si estás más acostumbrado; y=mx+b ;) En una función estocástica depende del error que estés dispuesto a asumir. Corolario: Una función lineal sólo tiene términos de primer grado (i.e. efectos principales) (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Tipos de funciones Decimos que una función es: Cuadrática si la aproximación usando los dos primeros términos de la serie de Taylor es suficiente. En otras palabras, si yf(x0)+f’(x)(x-x0)+(1/2)f’’(x)(x-x0)2 es una aproximación aceptable. En una función determinista es trivial determinar si es lineal ya que debe ocurrir; y=f(x0)+f’(x)(x-x0)+(1/2)f’’(x)(x-x0)2 ☞ …o si estás más acostumbrado; y=ax2+bx+c ;) En una función estocástica depende del error que estés dispuesto a asumir. Corolario: Una función lineal puede tiene términos de segundo grado (ya sean efectos principales (x2) y/o mixtos (x1x2) (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Tipos de funciones En funciones analíticas, si la aproximación de Taylor es exacta i.e. y=f(x0)+f’(x)(x-x0)+(1/2)f’’(x)(x-x0)2, entonces la función pudo ser definida o caracterizada por el polinomio correspondiente. y = a0+ a1x + a2x2 + … + anxn Si una función analítica puede ser definida (aproximada de forma exacta) por un polinomio decimos que la función es polinomial. No todas las funciones son polinomiales; ej. y=ex o también y=ln(x). ☞ Si quieres saber más: Puedes encontrar una clasificación más fina de tipos de funciones en: [http://www.vitutor.com/calculus/functions/types_functions.html] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Tipos de funciones Acorde a la simetría con los ejes, decimos que una función es: Par si xDℝ: f(x)=f(-x) Una función par es simétrica con respecto al eje de ordenada Impar si xDℝ: f(x)=-f(-x) Una función par es simétrica (rotacionalmente) con respecto al origen de coordenadas. Función par Función impar Figuras de: [https://es.wikipedia.org/wiki/Paridad_de_una_funci%C3%B3n] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Comportamiento Dependiendo de su comportamiento en un intervalo abierto I=(a,b), decimos que la función f es: Constante en I si x,yI: f(x)=f(y) Creciente en I si x,yI: x<y  f(x)f(y) En el caso particular que x,yI: x<y  f(x)<f(y) se dice que es monótona creciente. Decreciente en I si x,yI: xy  f(x)≥f(y) En el caso particular que x,yI: x<y  f(x)>f(y) se dice que es monótona decreciente. Observa que: No tiene por que ocurrir nada de lo anterior. Entonces, simplemente no se dice nada sobre f. Aunque la definición se da por intervalos, pero el intervalo puede corresponder con todo el dominio. (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina Gracias, ¿preguntas? (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

(c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina BACK UP SLIDES (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina

Los postulados de Euclides Los postulados de Euclídes en su obra Los Elementos son: Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. Postulado de las paralelas. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. El 5º es el que determina la geometría Euclidea. Una geometría que no lo satisface es una geometría no-Euclídea Ejemplo: 1) Euclidea, 2) Elíptica, 3) Hiperbólica Figuras de: [https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate] (c) 2013-6. Dr. Felipe Orihuela-Espina