1 Expresiones Algebraicas Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz. Ejemplos a) x 2  2xy b) 2x  y 2 x 3 x.y − 2x c) x 2  1

2 Tipos de Expresiones Algebraicas Expresiones Algebraicas RacionalesIrracionales EnterasFraccionarias

x  x.y 2y  1 3 Expresión Algebraica Racional Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación Ejemplo 2 2 33

4 Expresión Algebraica Irracional Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación Ejemplo x  2x y

x  3x y  y 5 Expr.Algebraica Racional Entera Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural. Ejemplo 52 4

 x y − 3 6 Expresión Algebraica Racional Fraccionaria Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador. Ejemplo 2 1x1x

Polinomios Son las expresiones algebraicas más usadas. Sean a 0, a 1, a 2, …, a n números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma: a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n 7

1 2 c)1  − Ejemplos de polinomios A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x). 3 x a) x 3 b)3x  3 2 x d) 2  3x  5x

9 Términos Monomio : polinomio con un solo término. Binomio : polinomio con dos términos. Trinomio : polinomio con tres términos. Cada monomio a i x i se llama término. El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es a n x n con a n  0. A a 0 se lo llama término independiente. A a n se lo llama término principal.

10 Ejemplos El polinomio 0 + 0x + 0x 2 + … +0x n se llama polinomio nulo. Lo simbolizaremos por O p (x). No se le asigna grado.

a) − x  2x  1 3x  1 e) x − 33 x  2x − 3 x1x1 11 Ejercicio Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado b) (x − 2)(x  3) 4 c) 2 d) x  2  x 2 f )

Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado lo son. Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x) a) P(x)  2  5x 3 ; Q(x)  a  (a  b)x 3 b) P(x)  − 5  ( 2  1)x  5 2x 2 Q(x)  a  (b  1)x  (c  2b)x 2 12

13 Suma de Polinomios Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes. Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios P(x) = -2x 4 + 5x 3 – 3x + 1 Q(x) = 3x 3 – 6x 2 – 5x - 2

14 Propiedades de la Suma Asociativa Conmutativa Existencia de elemento neutro Existencia de elemento opuesto

15 Resta de Polinomios Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x). P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ] Ejemplo: Restar los siguientes polinomios P(x) = -2x 4 + 5x 3 – 3x + 1 Q(x) = 3x 3 – 6x 2 – 5x - 2

16 Multiplicación de Polinomios Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado. Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = -2x 4 + 5x 3 – 3x + 1 Q(x) = 3x 3 – 6x 2 – 5x – 2 P(x).Q(x) = P(x) 3x 3 + P(x) (-6x 2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

17 Propiedades del Producto Asociativa Conmutativa Existencia de elemento neutro.

18 Algunos productos importantes (x+a) 2 =(x+a)(x+a)= x 2 + 2ax + a 2 (x-a) 2 =(x-a)(x-a)= x 2 - 2ax + a 2 (x+a) 3 = x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a 3 (x-a) 3 = x 3 - 3ax 2 + 3a 2 x - a 3 (x+a)(x-a)= x 2 –ax +ax-a 2 = x 2 -a 2

b) (x − x ) e) ( − x  x ) c)−c)− x − x  f ) −f ) − x  x  19 Ejercicio Escribir los desarrollos de    3 3  a) (2  3x)  3   1 3  2 d) (−23x)d) (−23x)

a) 4x − 4x  1 b) x  14x  49 e)8x  12x  6x  1 c) 25x − 30x  9 f ) − 8x  6x − x  x 20 Ejercicio: Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio d) x 3 − 6x 2  12x − 8 3 2

b) x − Ejercicio: La expresión x 2 - a 2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios. 2

22 División de polinomios Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros. Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.

23 División entre números enteros En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d  0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que D=d.C+r0 ≤ r < |d| Si r=0 se dice que D es divisible por d.

24 División entre números enteros Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras: 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues 29 = y 0 ≤ 5 < 6 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues 29 = (-6). (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6| ¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?

División de polinomios Dados los polinomios D(x) = 6x 3 – 17x 2 +15x-8 d(x) = 3x – 4 determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que D(x) = d(x). C(x) + r(x) de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=O p (x) 25

Ejemplo 6x 3 – 17x x – 8 3x – 4 -6x 3 + 0x 3 - 8x 2 9x x 9x x 0x 2 + 3x - 8 2x 2 - 3x x + 4 0x - 4 6x 3 -17x 2 +15x-8 = (3x-4)(2x 2 -3x+1)-4 26

27 Ejercicios D(x) = 4x 5 + 2x 3 – 24x x d(x) = x 2 – 3x D(x) = 16x x 6 + 9x 4 d(x) = 4x 5 + 4x 4 + 3x 3 + 3x 2 D(x) = 2x 4 – 6x 3 + 7x 2 – 3x +2 d(x) = x-2

28 División de Polinomios Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)  O p (x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que D(x) = d(x). c(x)

29 Ejercicios Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro P(x) = x 4 -2x 3 +x 2 -5x + 1 Q(x) = x 3 + x 2 + x + 1 P(x) = x 4 +2x 3 +4x 2 + 8x +16 Q(x) = x

División de un polinomio por otro de la forma (x-a) x–2 3x 2 + 4x + 3 Regla de Ruffini 3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 - 3x 3 + 6x 2 4x 2 – 5x - 4x 2 + 8x 3x – 9 -3x x 3 – 2x 2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x 2 + 4x + 3) + (-3)

31 División de un polinomio por otro de la forma (x-a) División de P(x) = 3x 3 – 2x 2 – 5x – 9 por (x-2) realizada por la Regla de Ruffini º operación : = 4 2º operación : (3.2 -2) = 3 3º operación : [3(2) 2 – ].2 -9 =-3 Por lo tanto 3.(2) 2 -2.(2) = -3

32 Raíces de un polinomio Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0 Ejercicio: Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x 2 + 2x – 5

33 Raíces de un Polinomio Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del polinomio entonces a divide al término independiente. Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x 3 - 2x x + 24

Ejercicio: Calcular las raíces de P(x) = 2x 3 - 2x x + 24 Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de 24. Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x) Ver x=2 también es raíz de 2x 2 + 2x -12 2x 2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6) 2x 3 – 2x 2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x 2 + 2x -12) 34

35 Ejercicio Calcular las raíces de P(x) = x 4 - x 3 - 6x 2 + 4x + 8 P(x) = (x-2) 2 (x+1) (x+2)

x − 4 − 2 (x − 4)(x  2)(x − 2x) 36 Resolver la siguiente ecuación 2 2  0 0   0 0  x  1 x(x  2) x 4 − x 3 − 6x 2  4x  8  0 2 (x − 2) 2 (x  1)(x  2) (x  2)(x − 2)(x  2)x(x − 2) 1 x − 2x 1x21x2

37 Soluciones de la Ecuación Fraccionaria