Señales y sistemas de tiempo discreto 1

Contenido n Señales y sistemas de tiempo discreto n Clasificacion de los sistemas de tiempo discreto n Representacion en el dominio del tiempo de sistemas LTI de tiempo discreto n Representacion en el dominio de la frecuencia de sistemas LTI de tiempo discreto n Representacion en el plano z de sistemas LTI de tiempo discreto n Representacion en espacio de estado de sistemas LTI de tiempo discreto n Equivalencia de las representaciones 2

SEÑALES Y SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO 3

Señales de tiempo discreto n Definicion: Definidas solamente a valores discretos del tiempo las señales de tiempo discreto pueden tomar todos los valores posibles n Son secuencias de numeros reales o complejos 4 Señales Digitales: Son señales de tiempo discreto que toman solo valores dentro de un conjunto finito de posibles valores

Representacion de señales de tiempo discreto 5 Representacion Funcional Representacion Grafica

Representacion de señales de tiempo discreto 6 Representacion en Secuencia n…-2012 x(n)… Representacion Tabular

Señales de tiempo discreto elementales 7 La señal impulso unitario

Señales de tiempo discreto elementales 8 Señal paso unitario (secuencia Heaviside)

Señales de tiempo discreto complejas 9

Sistemas de tiempo discreto n Un sistema de tiempo discreto es un dispositivo o algoritmo que: u opera sobre una señal de tiempo discreto llamada la entrada o excitación, p.ej u(n), u según alguna regla, p.ej. H [.] u para producir otra señal de tiempo discreto llamada salida o respuesta, p.ej y(n). 10

Sistemas de tiempo discreto 11 Esta expresion denota tambien: La transformacion H[.] (o procesamiento) realizada por el sistema sobre x(n) para producir y(n). llamada tambien operador o mapeo

Descripcion de entrada-salida de sistemas de tiempo discreto 12 input signal excitation output signal response discrete-time system

CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO 13

Clasificacion de los sistemas de tiempo discreto n La clasificacion de los sistemas de tiempo discreto se puede hacer de manera similar a la de los sistemas continuos: u Estaticos, dinamicos u Lineales, No lineales u Variables o invariantes en el tiempo u Causales, no causales 14

Ejemplos de sistemas de tiempo discreto n Sistema de tiempo discreto estatico n Sistema de tiempo discreto dinamico 15

Ejemplos de sistemas de tiempo discreto n Sistema de tiempo discreto variable en el tiempo n Sistema de tiempo discreto invariante en el tiempo 16

Ejemplos de sistemas de tiempo discreto n Sistema de tiempo discreto causal n Sistema de tiempo discreto no causal 17

REPRESENTACION EN EL DOMINIO DEL TIEMPO DE SISTEMAS LTI DE TIEMPO DISCRETO 18

La respuesta al impulso 19 LTI system unit impulse impulse response La entrada es un impulso unitario

La respuesta al impulso n La relación entre las señales de entrada y de salida se obtiene por la convolución de u con la respuesta al impulso h(t) 20

Respuesta al paso 21 unit step step response unit-step response LTI system Estas expresiones relacionan la respuesta al impulso y la respuesta al paso

Operadores de adelanto y de retardo n Para especificar relaciones de sistemas de tiempo discreto entre señales de entrada y salida se usan dos operadores de desplazamiento: u El operador de desplazamiento de adelanto q u El operador de desplazamiento de retardo q −1 : 22

Operadores de adelanto y de retardo n El operador de desplazamiento de adelanto q n El operador de desplazamiento de retardo q −1 : 23

Sistemas de tiempo discreto en terminos del operador de retardo n Siendo {h(k)} k = 0,1, ··· la respuesta al impulso del sistema, 24

Respuesta del sistema n La “funcion de transferencia” de un sistema LTI es: 25 ¡no confundir con la variable compleja z!

REPRESENTACION EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA DE SISTEMAS LTI DE TIEMPO DISCRETO 26

Representacion en el dominio de la frecuencia de señales y sistemas LTI de tiempo discreto 27 LTI system complex-valued exponencial signal impulse response LTI system output

Representacion en el dominio de la frecuencia de señales y sistemas LTI de tiempo discreto n Calculemos la salida del sistema... 28

Respuesta en Frecuencia de sistemas LTI de tiempo discreto 29 Respuesta en Frecuencia

Periodicidad de la respuesta en frecuencia Una propiedad importante de la respuesta en frecuancia es que es periodica con periodo 2  30

31 Podemos considerar la expresion de como su expansion en series de Fourier donde h(k) son los coeficientes de la serie. En consecuencia h(k) esta relacionada con por la integral

Propiedades de simetria de la respuesta en frecuencia La parte real es un funcion par con periodo 2  La parte imaginaria es un funcion impar con periodo 2  32

33 Symmetry PropertiesEVEN ODD

REPRESENTACION EN EL PLANO Z DE SISTEMAS LTI DE TIEMPO DISCRETO 34

La transformada Z n Definicion: La transformada Z de una señal discreta esta definida como la serie de potencia: 35 Donde z es una variable compleja

La transformada Z inverza n El procedimiento para transformar del dominio z al dominio del tiempo es denominado la transformada Z inversa: 36 donde C denota el contorno cerrado en la region de convergencia de X(z) que contiene el origen.

La ecuacion de diferencia n Un sistema LTI de tiempo discreto puede ser descrito por medio de una ecuacion de diferencia con coeficientes constantes, como sigue 37

La funcion de transferencia 38 n La aplicación de la transformada Z a la ecuacion de diferencia u Bajo la condicion de condiciones iniciales nulas n Conduce a la nocion de funcion de transferencia

La funcion de transferencia 39 LTI System input signal output signal La Funcion de Transferencia es la razon de la transformada Z de la salida y de la transformada Z de la señal de entrada

La funcion de transferencia n La Funcion de Transferencia es la razon de la transformada Z de la salida y de la transformada Z de la señal de entrada 40

Funcion de transferencia del sistema LTI n A partir de la ecuacion de diferencia es posible calcular entonces la funcion de transferencia 41

Funcion de transferencia del sistema LTI 42 H(z): puede ser vista como una funcion racional de la variable compleja z (z -1 ).

REPRESENTACION EN ESPACIO DE ESTADO DE SISTEMAS LTI DE TIEMPO DISCRETO 43

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EQUIVALENCIA DE LAS REPRESENTACIONES 45

Equivalencia de las representaciones 46 n Ejercicio n Investigue como Matlab representa un sistema dinámico de tiempo discreto en los diferentes dominios. Ver LTI_formats.m

Fuentes n Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, n Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class Notes. December, 2003http:// n Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems. University of Birmingham n Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics. School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas