Distribución Exponencial LECCIÓN 5: OTRAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS Distribución Gamma Distribución Exponencial

(p)=(p-1)! Primeramente definimos la función gamma; DISTRIBUCIÓN GAMMA Primeramente definimos la función gamma; Siendo p un número real positivo no necesariamente entero. (p)=(p-1)! A partir de la función gamma definimos la distribución de probabilidad gamma como: Sea una variable aleatoria X ~ Gamma(p,a) Función de densidad de probabilidad, parámetros de forma p y de escala a.

sigue una distribución (p1....+ pn ,a) DISTRIBUCIÓN GAMMA La distribución gamma se suele utilizar en: Intervalos de tiempos entre dos fallos de un motor, Intervalos de tiempos entre dos llegadas de automóviles a una gasolinera, Tiempos de vida de sistemas electrónicos, etc. Estadísticos: Media= p/a Varianza= p/a2 Propiedad reproductiva Si x1,...,xn son n variables aleatorias independ. Distribuidas según una (pi,a) La nueva variable aleatoria Y= x1,...,xn sigue una distribución (p1....+ pn ,a)

sigue una distribución (n/2,1/2) DISTRIBUCIÓN GAMMA Propiedad Si x1,...,xn son n variables aleatorias independientes distribuidas según una N(0,1). La nueva variable aleatoria Y= x21,...,x2n sigue una distribución (n/2,1/2) Cuando el parámetro p es entero, a la distribución (p,a) se le conoce con el nombre de distribución Erlang

El tiempo de duración X de una pieza de un cierto equipo se distribuye según una ley gamma de parámetros p=3 y a=2. Determinar: Probabilidad de que el equipo funcione más de 10 horas, Probabilidad de que el equipo funcione entre 10 y 15 horas.

Caso particular de la distribución gamma cuando p=1, (1,a) DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Caso particular de la distribución gamma cuando p=1, (1,a) Aplicación (caso equivalente continua de la dist. Geométrica) Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t hasta que ocurra el evento en el instante t’ no depende del tiempo transcurrido anteriormente. NO TIENE MEMORIA. Sea una variable aleatoria XExp()

Función de distribución DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Función de distribución Media, Varianza

Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado un marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionado correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 25 años?