Postulados de la Mecánica Cuántica (2) Tercera sesión Postulados de la Mecánica Cuántica (2)

Postulado 1 “Para cada estado de un sistema dinámico de N partículas existe una función de onda Ψ que depende de las coordenadas de las N partículas y del tiempo. Dicha función de onda describe al sistema tan completamente como es posible” Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…,xN,yN,zN,t) 2

Corolario “Si las propiedades del sistema que se desea estudiar no dependen del tiempo, la función de onda no depende del tiempo Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…,xN,yN,zN) y se llama función de onda de estado estacionario” (3N variables). 3

Postulado 2 “Para cada observable del sistema existe un operador que reproduce el valor de la propiedad si se aplica a la función de onda” 4

Ecuación de Schrödinger Como el Hamiltoniano es distinto para cada sistema, existe una ecuación de Schrödinger diferente para cada sistema. 5

Ecuación de Schrödinger (2) La ecuación de Schrödinger es una ecuación de valores propios (eigenvalores) y debe resolverse para Ψ y para E. El problema de la “Química Cuántica” es resolver la ecuación de Schrödinger para sistemas de interés químico. 6

Postulado 3 También se conoce como postulado de Born. Max Born (1882-1970). Premio Nóbel en 1954. 7

Postulado 3 “El cuadrado de la función de onda está relacionado con la probabilidad de encontrar a las partículas en una cierta región del espacio”. 8

Comentario Funciones discretas y funciones continuas. Diferencia entre contar y medir. ¿Qué es contar? 9

Comentario Funciones discretas y funciones continuas. Diferencia entre contar y medir. ¿Qué es contar? Contar es hacer una biyección con los naturales. 10

Comentario (2) Las mediciones pueden tomar cualquier valor en un rango dado (y por lo tanto, existe un continuo de valores). En probabilidad: Discreto – Funciones de probabilidad discretas. Continuo – Funciones de probabilidad o densidades de probabilidad. Las funciones de probabilidad determinan una distribución de las probabilidades 11

Función de probabilidad Número que sale al tirar 2 dados 12

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La probabilidad de todo el espacio es 1. P(S)=1 15

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P(1), P(6), P(3x7), P(3<x7), P(3x<7), (3<x<7), P(-x) 17

Continua 18

Probabilidad = Área bajo la curva Continua Probabilidad = Área bajo la curva 19

Continua 20

Las probabilidades de puntos Continua Las probabilidades de puntos son cero, ya que 21

Probabilidad de todo el espacio Continua Probabilidad de todo el espacio 22

Comentario (3) Ambas determinan una distribución de probabilidad. 23

Comentario (4) El cuadrado de la función de onda es una densidad de probabilidad. Por lo tanto la función de onda debe ser: Continua. Univaluada. Finita (cuadrado integrable). 24

Postulado de Born 25

Resolución de Problemas Particulares Se substituye la masa de la partícula. Se substituye el potencial V para el caso del problema particular. Se resuelve el problema para Ψ y para E. 26

Resolución de Problemas Particulares (2) En general hay varias funciones Ψ que matemáticamente cumple con ser solución de la ecuación de Schrödinger. Se escogen aquellas que además de cumplir con las restricciones físicas del problema cumplen con: 27

Resolución de Problemas Particulares (3) O sea, aquellas que sean: Continuas. Univaluadas. Finitas. 28

Resolución de Problemas Particulares (4) Con Ψ2 se pueden encontrar zonas del espacio donde existe mayor probabilidad de encontrar a las partículas. 29

Partícula en un pozo de potencial unidimensional V= V=0 V= a x  30

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Resumen Ψ(x) = 0 (- < x < 0) No sabemos (0  x  a) (a < x < ) 34

Gráfica de (x) (x) a x 35

¿Cuál es la probabilidad de encontrar a la partícula fuera de la caja? 36

¿Cuál es la probabilidad de encontrar a la partícula fuera de la caja? Pfuera = 0 37

Dentro de la caja 38

Dentro de la caja (2) Es una constante. Le pongo nombre: - Constante, yo te bautizo como 2. 39

Dentro de la caja (3) Debemos resolver esta ecuación diferencial de orden 2. O sea, necesitamos encontrar una función que derivada dos veces sea igual a menos 2 por ella misma. 40

Dentro de la caja (4) Toda ecuación diferencial de orden n tiene n soluciones (linealmente independientes). Les propongo estás dos soluciones: 41

Dentro de la caja (5) A ver si es cierto encontramos dos funciones que cumplen con que derivadas dos veces son iguales a -2 por ellas mismas. 42

Dentro de la caja (6) Por lo tanto: 43

Dentro de la caja (7) Pero ¿cumplen con ser funciones de onda aceptables? ¿Cumplen con el postulado de Born? ¿Son continuas, univaluadas y finitas? 44

Gráfica de (x) (x) a x 45

¿Cuánto debe valer (0)? 46

Ψ(0) = 0 Para que la función sea continua en x = 0 ¿Cuánto debe valer (0)? Ψ(0) = 0 Para que la función sea continua en x = 0 47

Dentro de la caja (8) Por lo tanto: 48

Función Seno La función seno cumple con ser cero en x=0. 49

Función Coseno La función coseno no cumple con ser cero en x=0. El coseno no es una función de onda aceptable para este problema. 50

Gráfica de (x) (x) a x 51

¿Cuánto debe valer (a)? 52

¿Cuánto debe valer (a)? Para que la función sea continua en x = a 53

Por lo tanto Le quito el subíndice porque ya solo me quedé con una función 54

Función Seno ¿Dónde se hace cero la función seno? 55

Función Seno ¿Dónde se hace cero la función seno? En 0 y en múltiplo enteros de . Por lo tanto, para que la función sea aceptable, su argumento debe cumplir con: 56

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Despejando la energía La energía de una partícula en un pozo de potencial está cuantizada 58

Energía de la partícula La energía de una partícula en un pozo de potencial está cuantizada 59

¿De dónde surgen los números cuánticos? De las restricciones físicas al movimiento de las partículas. (Si fuera matemático diría: -De las condiciones a la frontera de la ecuación diferencial). Si la partícula se moviera libremente, no habría cuantización. 60

Niveles de Energía 61

Energías positivas porque es pura energía cinética. 62

El número cuántico también aparece en la función de onda Pues si, porque… 63

Postulado 1 “Para cada estado de un sistema dinámico de N partículas existe una función de onda Ψ que depende de las coordenadas de las N partículas y del tiempo. Dicha función de onda describe al sistema tan completamente como es posible” Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…,xN,yN,zN,t) 64

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Ahora tenemos que garantizar que 67

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Y, con ayuda de una tabla de integrales: 70

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A mayor energía, mayor es el número de nodos en la función de onda. Los números cuánticos surgen de las restricciones físicas al movimiento. A mayor energía, mayor es el número de nodos en la función de onda. La función de onda no tiene significado físico. Su cuadrado es una densidad de probabilidad. 73

Partícula en un paralelepípedo de potencial b c V= V=0 74

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Separación de variables Dentro: V=0 Proponemos Y podemos resolver 3 problemas en una sola dimensión (ya lo hicimos antes para la partícula en una dimensión). 77

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Así, la función de onda total será el producto de las tres funciones (una por cada coordenada): 80

Y la energía total será la suma de las energías para cada coordenada: 81

Aparecen 3 números cuánticos Uno por cada restricción al movimiento (restricción en x, restricción en y restricción en z). a b c V= V=0 82

Cubo de potencial Para un cubo: a=b=c 83

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Para el mismo nivel de energía aparecen tres diferentes estados. Hay 3 estados distintos del sistema con la misma energía. Se llaman: niveles degenerados. 89

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El siguiente nivel de energía tendría una energía de 14E0 y una degeneración de 6: 94

¿Qué pasaría si alargáramos el cubo en la dirección “y”? V= V=0 a V= V=0 b>a Prisma cuadrangular Cubo 95

Como b>a baja la energía 96

Se rompe la degeneración 97

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Si se rompe la simetría se rompe la degeneración. El cubo es más simétrico que el prisma cuadrangular. 100

¿Y si ahora lo alargáramos en la dirección “z”? V= V=0 a c V= V=0 b b Prisma cuadrangular Prisma rectangular 101

Se vuelve a romper la degeneración. El prisma cuadrangular es más simétrico que el prisma rectangular. (2,1,1) (1,1,2) (1,2,1) (1,1,1) 102

¿Qué pasaría si quisiéramos graficar la función de onda para el paralelepípedo? 103

¿Qué pasaría si quisiéramos graficar la función de onda para el paralelepípedo? No se puede 104

Función de una Variable f(x) x 105

Función de una Variable f(x) Líneas x 106

Función de dos Variables f(x,y) x y 107

Función de dos Variables f(x,y) Sábanas x y 108

Funciones de onda para un cuadrado de potencial Por ejemplo Funciones de onda para un cuadrado de potencial 109

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Función de tres Variables z x y 114

Función de tres Variables z ¿Dónde pongo f(x,y,z)? x y 115

Aparecen tantos números cuánticos, como restricciones al movimiento. Los números cuánticos surgen de las restricciones al movimiento de las partículas. Aparecen tantos números cuánticos, como restricciones al movimiento. Niveles degenerados. Si se rompe la simetría, se rompe la degeneración. No sé graficar funciones de 3 variables. 116

Átomo de Hidrógeno (Hidrogenoides) 117

Átomos Hidrogenoides Los átomos son esféricamente simétricos. Para una esfera en coordenadas cartesianas: x2+ y2 + z2=cte. En cambio, en coordenadas esféricas polares: r=cte. 118

Átomos Hidrogenoides Por lo tanto, conviene expresar los problemas atómicos en coordenadas esféricas polares, o para los cuates coordenadas polares. 119

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Altura sobre el nivel del mar Latitud Longitud Altura sobre el nivel del mar 121

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x = r sen cos y = r sen sen z = r cos 123

Cartesianas Coordenadas cartesianas o rectangulares: 3 distancias. -  x   -  y   -  z   124

Esféricas polares Coordenadas esféricas polares o simplemente polares: 2 ángulos y una distancia. 0  r   0    2 0     125

Hidrogenoides 126

El núcleo está fijo en el centro y el que se mueve es el electrón, o sea vamos a tener una función de onda monoelectrónica. 127

La función de onda depende entonces de r,  y : Ψ(r, , ) Y tenemos que escribir la ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas polares. 128

Necesitamos un operador de Laplace en coordenadas esféricas polares. El operador de energía potencial, solo depende de r, porque es central. Necesitamos un operador de Laplace en coordenadas esféricas polares. 129

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Orbital A una función de onda monoelectrónica, se le llama orbital. Un orbital es una función de onda de un electrón. En el orbital aparecen 3 números cuánticos n, l, m (uno por cada restricción al movimiento). 132

Los orbitales tiene una parte radial y una parte angular. Los valores de n condicionan el valor de l y los de l condicionan los de m. 133

Números cuánticos n – número cuántico principal. l – número cuántico azimutal. m – número cuántico magnético. 134

Números cuánticos (2) n es un entero positivo. n puede tomar los valores 1,2,3,4…etc. l puede valer números enteros desde 0 hasta n-1. m puede valer números enteros desde –l hasta + l 135

Energía La energía solo depende del número cuántico principal n. 136

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Reglas de nomenclatura Si l = 0 el orbital se llama s Si l = 1 el orbital se llama p Si l = 2 el orbital se llama d Si l = 3 el orbital se llama f Si l = 4 el orbital se llama g Si l = 5 el orbital se llama h …etc. 138

Reglas de nomenclatura (2) El valor del número cuántico principal n se antepone a la letra correspondiente. 139

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¿ l = 5, n=7? ¿ l = 3, n=4? ¿ l = 4, n=5? 141

¿ l = 5, n=7? – 7h ¿ l = 3, n=4? – 4f ¿ l = 4, n=5? – 5g 142

E 3s 3p 3p 3p 3d 3d 3d 3d 3d D=9 D=4 2s 2p 2p 2p D=1 1s 143

4 9 144

Parte radial Rnl(r) n = 1, l = 0 (1s) n = 2, l = 0 (2s) n = 2, l = 1 (2p) 145

Parte angular Ylm(,) l = 0, m = 0 l = 1, m = 0 l = 1, m = 1 146

Parte angular Ylm(,) l = 0, m = 0 l = 1, m = 0 l = 1, m = 1 (z) (x) (y) 147

x = r sen cos y = r sen sen z = r cos 148

Orbitales 149

Hidrógeno 150

¿Qué pasaría si quisiéramos graficar los orbitales? 151

¿Qué pasaría si quisiéramos graficar los orbitales? En general no se puede 152

Entonces, ¿qué son los cacahuates y las donas que aparecen en los libros? Vamos por partes. 153