Análisis de esfuerzos en torno a excavaciones Expresiones analíticas

GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción Inestabilidades controladas por estructuras vs. Controladas por esfuerzos Estructuras  actúa la gravedad principalmente Esfuerzos  tensor con seis componentes independientes GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE Análisis de esfuerzos Comportamiento de la roca es complejo, pero se puede realizar una primera aproximación considerando la roca: continua, homogénea, isótropa y elástica Debemos recordar que en general la roca es: discontinua, heterogénea, anisótropa, no-elástica Solución simplificada funciona relativamente bien: a grandes profundidades con esfuerzos altos (que han cerrado las fracturas) y con un macizo rocoso relativamente homogéneo y continuo La hipótesis se debilita al estar afectado por esfuerzos menores con fracturamiento más importante y con un macizo rocoso más alterado y meteorizado GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE Análisis de esfuerzos El análisis de esfuerzos comienza conociendo las magnitudes y direcciones de los esfuerzos in situ en la zona de la excavación. Luego, se deben calcular los esfuerzos inducidos Existen algunos casos en los que una solución analítica existe para determinar los esfuerzos inducidos en torno a excavaciones circulares y elípticas (técnicas más complicadas basadas en análisis de variables complejas extienden los resultados a otros casos). Análisis numérico también se puede utilizar para determinar los esfuerzos en torno a cualquier geometría de excavación en 3D. GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE Análisis de esfuerzos Soluciones analíticas deben satisfacer ciertas condiciones para la distribución de esfuerzos: Condiciones de borde del problema Ecuaciones diferenciales de equilibrio Ecuaciones constitutivas del material Ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE Análisis de esfuerzos Soluciones analíticas deben satisfacer ciertas condiciones para la distribución de esfuerzos: Condiciones de borde del problema Ecuaciones diferenciales de equilibrio Ecuaciones constitutivas del material Ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones Tracción nula en la superficie Desplazamientos en la superficie Esfuerzos en el campo lejano GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE Análisis de esfuerzos Soluciones analíticas deben satisfacer ciertas condiciones para la distribución de esfuerzos: Condiciones de borde del problema Ecuaciones diferenciales de equilibrio Ecuaciones constitutivas del material Ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE Análisis de esfuerzos Soluciones analíticas deben satisfacer ciertas condiciones para la distribución de esfuerzos: Condiciones de borde del problema Ecuaciones diferenciales de equilibrio Ecuaciones constitutivas del material Ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE Análisis de esfuerzos Soluciones analíticas deben satisfacer ciertas condiciones para la distribución de esfuerzos: Condiciones de borde del problema Ecuaciones diferenciales de equilibrio Ecuaciones constitutivas del material Ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE Análisis de esfuerzos Todas estas ecuaciones juntas entregan la solución. Para ello, se reemplaza la expresión de las deformaciones en las ecuaciones de compatibilidad y luego se usan las ecuaciones diferenciales de equilibrio: GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE Análisis de esfuerzos Falta entonces encontrar la solución a esta ecuación satisfaciendo las condiciones de borde… Ejemplo: Casquete cilíndrico sujeto a presión interior pi y exterior po GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Expresiones analíticas Excavación circular (ecuaciones de Kirsch): probablemente las ecuaciones más utilizadas en mecánica de rocas para la teoría de la elasticidad Permiten determinar esfuerzos y deformaciones GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Expresiones analíticas Esfuerzos en la superficie de la excavación: r=a Tracción nula GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Expresiones analíticas Esfuerzo horizontal de campo lejano: q=0 r Condiciones de borde GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Expresiones analíticas Esfuerzo tangencial máximo y mínimo: depende de K Estos valores representan el límite superior e inferior del esfuerzo en la superficie de la excavación. Punto A Punto B K=0 GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE

Expresiones analíticas Para esfuerzo hidrostático: K=1 evaluado en r=a El esfuerzo tangencial en la superficie toma este valor independiente del ángulo Situación óptima: el esfuerzo se distribuye uniformemente sobre la superficie Solución general: esfuerzo axisimétrico GEOTECNIA MINERA – UNIVERSIDAD DE CHILE