Congruencias y semejanzas de figuras planas UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO Congruencias y semejanzas de figuras planas Juan Serrano, MA

GEOMETRIA: El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geométricas, y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras, características, propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno físico. 9.G.5.1 Compara y contrasta la igualdad, la congruencia y la semejanza.

¿Cómo son las figuras mostradas? Son idénticas

Ejemplos de Congruencia . ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

Congruencia . Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, es decir, si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensión.

Criterios de congruencia

Triángulos congruentes Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus partes correspondientes son congruentes. D A B C E F ABC  DEF

Definición: Dos triángulos ABC y DEF son correspondientes si: Sus lados correspondientes son congruentes. Sus ángulos correspondiente son congruentes. En la figura

POSTULADOS DE CONGRUENCIA Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro, entonces los triángulos son congruentes. Criterio LAL: Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Criterio LLA: Si el lado más largo del triangulo, junto con otro lado de éste, y el ángulo superior del lado más largo del triángulo son congruentes con los del otro triangulo, entonces los triángulos son congruentes.

Postulado LLL Si los lados de un triángulo son congruentes con los lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes. A D C B F E ABC  DEF

Postulado ALA Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes. B A C E D ABC  CDE

Postulado AAL Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado no incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes. A D F C B E ABC  EFD

Postulado LAL Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes a dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes. B E A C D F ABC  DEF

Ejemplos: 1)  En la figura, se tiene un triángulo ABC  isósceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales. ¿Cuáles triángulos son congruentes?

2) Dado el triángulo rectángulo de lados a,b y c, se han construido las figuras que están a sus lados copiándolo varias veces y colocándolo en diferentes posiciones. Analiza los ángulos que son congruentes en las distintas posiciones. ¿Podrías deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras?

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

PROPIEDAD BASE MEDIA B M N A C

FIGURAS SEMEJANTES

GEOMETRIA: El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geométricas, y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras, características, propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno físico. 7.G.10.1 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales, incluidas las partes correspondientes, la razón de semejanza y las medidas de las partes correspondientes. Determina la relación proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes.

¿Cómo son las figuras mostradas? Son proporcionales Son semejantes 25

Semejanza Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes. Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.

Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los segmentos determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales. es la razón de semejanza

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales. El cociente se llama razón de semejanza.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Ceprepuc SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 30 Geometría 30

Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m. B C 18m 15m 12m P Q R Multiplica cada uno de los lados por 3. x 3 Los lados del triángulo se han triplicado. 33

Identificamos algunos elementos : RAZÓN DE SEMEJANZA : 3 LADOS HOMÓLOGOS : AB PQ QR PR BC AC Además: Si la altura relativa al lado AC mide a, podemos afirmar que la altura relativa a su lado homólogo PR mide 3a. Cualquier longitud (lados y líneas notables) en el triángulo ABC se triplica en el triángulo PQR. 34

 ¿Cuál es el símbolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triángulos?

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del árbol y el de la vara de longitud conocida.

Distancias o alturas aplicando semejanza Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas habitualmente por las guías y scouts, para estimar alturas y distancias, recurriendo a la semejanza de triángulos. En este caso, es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del árbol reflejado en el espejo.

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 38

Criterios de semejanza de triángulos existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos

Existen tres criterios de semejanza de triángulos AA ( ángulo-ángulo) LLL (lado-lado-lado) LAL (lado-ángulo-lado)

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS POSTULADOS DE SEMEJANZA Criterio AA de semejanza.  Teorema: “ Si dos triángulos tienen sus dos  ángulos  correspondientes congruentes, entonces el tercero también será congruente y los triángulos son semejantes”.   Criterio LAL de semejanza.  Teorema: “ Dos  triángulos  son  semejantes   si   tienen   un   ángulo congruente comprendido entre lados proporcionales”. Criterio LLL de semejanza.  Teorema: "Si los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes".

Primer criterio AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. A´ B´ C’ A B C a´ a b´ b g´ g Es decir: Si a = a´ , b = b´ de lo anterior se deduce que g = g´ Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´

¡SI! Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? 25 65 ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA

II. Segundo criterio LLL Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. A´ B´ C’ A B C b b´ a a´ Es decir: c c´ El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza. a a´ = b b´ = =K c c´ Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´

Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales A B C P Q R 1,5 3,5 5 3 7 10 3,5 7 5 10 1,5 3 = = Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III. Tercer criterio LAL Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí. A´ B´ C’ A B C a a´ y a = a´ a a´ c c´ Es decir: = Entonces D ABC semejante a D A´B´C´

Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales A B C 4 3 D E F 9 12 3 9 4 = 12 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. a) 8 cm, 10 cm, 12 cm b) 52 cm, 65 cm, 78 cm Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, podemos ver la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos 52 •10 = 8 • 65 = 520 65 • 12 = 10 •78 = 780 65 10 78 12 Representemos el ejercicio 8 10 12 78 65 52 52 8 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 65 : 10 = 6,5 6,5 = = = Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL

La razón de semejanza es 3 Ejercicio Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. 3 4 5 x y z = 9 X 3 Y 4 Z 5 Representamos la situación 12 = =15 Luego, debe ocurrir: 3 1 Entonces: X 3 X= 3· 3 = 9 = = = =3 = 3 Y 4 =12 Escala de ampliación Y = 4 · 3 =3 La razón de semejanza es 3 Z 5 Z = 5 · 3 = 15 =3

Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 30x16=480 y 40x12=480 además 40x20=800 y 16x50=800 50 30 40 12 16 20 Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales 30 12 40 16 50 20 = =

Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema). Son semejantes por que cumplen el criterio AA, tienen iguales el ángulo recto y el ángulo de elevación que forman los rayos solares con el suelo 4,5m x 3m 2m sombra poste Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto X = 3 • 4,5 2 = 6,75m = 3 x 2 4,5 De donde Formamos la proporción

Para terminar una pequeña demostración

Demuestre: Si L1// L2 , , entonces ΔABC ~ΔDEC Dadas las rectas AB y DE, son paralelas. Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes. Demostración Afirmaciones Razones Por ser ángulos alternos internos entre // Por ser Ángulos alternos internos entre // Por lo tanto al tener dos ángulos congruentes, se cumple al criterio AA, luego, los triángulos ABC y DEC son semejantes