Fundamentos de Control Realimentado Clase 10 - Versión 1 - 2017 Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre 2017. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5

Propiedades Básicas de los Sistemas de Control Contenido Propiedades comparativas de los SC a Lazo Abierto y Cerrado Rechazo a las perturbaciones en ambos tipo de SC Sensibilidad de una FT a cambios de parámetros y de ganancia Sensibilidad de la respuesta temporal de un sistema dinámico a cambios de parámetros y de ganancia

Sistema de Control a Lazo Abierto 3 Sistema de Control a Lazo Abierto Y Hr Dol G R´ Conformador (prefiltro) Perturbación Controlador Planta G´ Referencia Formas de Hr : Existen 2 componentes de salida para 2 entradas diferentes Si la planta tiene un retardo puro e-sd t -d r(t+d) r ’ (t+d) Y1(s) = Hr(s) Dol(s) G(s) R(s) para W(s)=0 t -d r(t+d) r ’ (t+d) t r ’ (t) r(t) t r ’ (t) r(t) Y2(s) = G´(s) W(s) para R(s)=0 Se aplica el Principio de Superposición para R y W: Y (s) = Hr(s) Dol(s) G(s) R(s) + G´(s) W(s) Y (s) = Y1 (s) + Y2 (s)

Sistema de Control a Lazo Cerrado 4 Sistema de Control a Lazo Cerrado W Controlador Planta D(s) Y R´ U E - G(s) V + G´(s)/G(s) Hy´(s) Hy(s) Hr(s) R Sensor Conformador Hr Dc G Hy Perturbación Conformador (prefiltro) Controlador Planta G´ Entrada de referencia Hy´ Sensor 3 Entradas y 1 Salida superpuesta Ruido Y1(s) R(s) Gcl 1(s) = = para W(s)=V(s)=0 1+Dc(s) G(s) Hy(s) Hr(s) Dc(s) G(s) Luego se aplica el Principio de Superposición Y2(s) W(s) Gcl 2(s) = = para R(s)=V(s)=0 1+Dc(s) G(s) Hy(s) G´(s) Y(s) = 1 + Dc G Hy Hr Dc G R(s) + Hr Dc G´ W(s) + Dc G Hy´ V(s) Para la perturbación W y el ruido V se deben identificar las FT´s: G’(s) y Hy’(s), las cuales explican la causalidad de la perturbación Y3(s) V(s) Gcl 3(s) = = para R(s)=V(s)=0 1+Dc(s) G(s) Hy(s) -Dc(s)G(s) Hy´(s)

5 Disturbios Los disturbios engloban tanto a las perturbaciones como a los ruidos. 1) Ejemplo de Perturbación de baja frecuencia: Reactor químico con una perturbación en la concentración del producto c(t) : Rayo p Válvula 1 Válvula 2 Compresor p1 p2 Reactor Reactivo 1 Reactivo 2 t c(t) c(t) Concentración del producto

(velocidad, aceleración) 6 Disturbios Ejemplo 2) Ruido persistente de alta frecuencia Sistema de amortiguación con elementos defectuosos Fricción en el cilindro de un amortiguador Sistema de amortiguación Movimiento (velocidad, aceleración) t y(t) vibración y(t) x(t) Camino pedregoso perfil del suelo

Sistema de control con realimentación unitaria 7 Sistema de control con realimentación unitaria Controlador Planta Y1(s) R(s) Gcl(s) = = para W(s)=0 1+Dc(s) G(s) Dc(s) G(s) Y(s) = Gcl(s) R(s) + Gw(s) W(s) Objetivos de control: Y2(s) W(s) Gw(s) = = para R(s)=0 1+Dc(s) G(s) G(s) 1) Diseñar Gcl(s) para lograr Buena Performance 2) Diseñar Gw(s) para lograr Rechazo a la Perturbación Y(s) = Gcl(s) R(s) + Gw(s) W(s)

Rechazo a las Perturbaciones 8 Rechazo a las Perturbaciones Control a lazo abierto de velocidad de un motor DC Torque de carga (perturbación) rpm de referencia rpm del motor Prefiltro Controlador La estabilidad depende de los polos de Hr , Dol y del polo s=-. Todos ellos deben estar en el semiplano izquierdo s La performance en cambio, depende de la calibración ! W m(s) = Hr(s) Dol(s) Wref(s) + Tl(s) A ts+1 B Notar que la perturbación se traslada a la salida produciendo error ! No existe una forma de atenuar TI a través del controlador

Control a lazo cerrado de la velocidad de un motor DC 9 Rechazo a las perturbaciones Control a lazo cerrado de la velocidad de un motor DC Torque de carga rpm de referencia rpm del motor La performance AHORA depende de la realimentación ! W (s) = Wref(s) + A/(ts+1) 1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1) Hr(s) Dcl(s) Tl(s) B/(ts+1) La influencia de la perturbación en la salida puede ser atenuada a través del controlador !

COMPARACIÓN 10 Control a LAZO ABIERTO de velocidad de un motor DC B A W (s) = Hr(s) Dol(s) Wref(s) + Tl(s) A ts+1 B No existen grados de libertad para atenuar la perturbación ! Control a LAZO CERRADO de velocidad de un motor DC W (s) = Wref(s) + A/(ts+1) 1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1) Hr(s) Dcl(s) Tl(s) B/(ts+1) La ganancia controlador Dcl, puede aumentarse para atenuar la incidencia de la perturbación Tl en la salida W (s) !

Rechazo a las perturbaciones en estado estacionario 11 Rechazo a las perturbaciones en estado estacionario Si Tl es un escalón, Tl(s)=a/s , su influencia sobre la salida en lazo cerrado se aprecia en el estado estacionario de la siguiente forma: B/(ts+1) 1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1) a s lim s0 = a 1+Hy(0) Dcl(0) A B Ww() = Con respecto al SLA, en el SLC aparece el factor: 1+Hy(0) Dcl(0) A 1 Al denominador : Hy(0) Dcl(0) A se denomina: GANANCIA DE LAZO ABIERTO en estado estacionario Eligiendo la GANANCIA DE LAZO ABIERTO tal que: Hy(0) Dcl(0) A>>B, se logra disminuir el efecto de la perturbación. La ganancia del controlador es la variable de diseño en el rechazo a la perturbación

Efecto de Variación de Parámetros en los SC 12 Efecto de Variación de Parámetros en los SC Definición 1: Se denomina SENSITIVIDAD de GANANCIA de un Sistema de Control a la incidencia provocada por una VARIACIÓN de los PARÁMETROS de la planta sobre la GANANCIA del sistema de control. Definición 2: Se denomina SENSITIVIDAD de SALIDA de un Sistema de Control a la incidencia provocada por una VARIACIÓN de los PARÁMETROS de la Planta sobre la SALIDA del sistema de control. Dicha incidencia se describe a través de una Función denominada Sensitividad. Es distinta para los casos de SC en LA y LC La Sensitividad expresa dicha variación de Ganancia o de Salida del sistema de control en forma normalizada, es decir porcentual del parámetro.

Función de Sensitividad de Ganancia en 13 Función de Sensitividad de Ganancia en el SC de Lazo Abierto Sistema de Control a lazo abierto – Ejemplo Motor DC Sea la ganancia Kol del controlador y Tol =(Kol A) la ganancia del sistema de LA con Hr=1. Una variación causada por el cambio de la ganancia A de la planta produce: dA A La variación normalizada de la ganancia A es: La función de Sensitividad de la Ganancia en LA se define a través de: A ol S = 1 La variación de Ganancia de la Planta incide totalmente en la Ganancia de LA Sensitividad de Ganancia

Función de Sensitividad de Ganancia en 14 Función de Sensitividad de Ganancia en el SC de Lazo Cerrado Sistema de Control a lazo cerrado – Ejemplo Motor DC Sea la ganancia de lazo cerrado: La variación de Tcl es: Función de Sensitividad A cl S Tcl = Tcl A  A cl Tcl A Normalización Función de Sensitividad de Ganancia de LC: cl S A cll S = La variación de Ganancia de la Planta incide parcialmente en la Ganancia de LC

Resumen: Sensitividad de Ganancia 15 Control a LAZO ABIERTO de velocidad de un motor DC A ol S = A ol S = 1 Control a LAZO CERRADO de velocidad de un motor DC A cl S = A cl S = CONCLUSIÓN: Si >> 1 , la Sensitividad de Ganancia del Sistema de LC disminuye significativamente y es mucho menor que la Sensitividad de Ganancia del Sistema de LA

Sensitividad de Salida 16 Sensitividad de Salida Definición: dada la salida de lazo “y” del sistema se de- fine Sensitividad de Salida respecto a un parámetro  como: o en una forma logarítmica con ln()=1/: Usualmente  es un coeficiente de la planta como por ejemplo, la ubicación de un polo o cero, o la ganancia.

Sensitividad de Salida ante cambios paramétricos 17 Sensitividad de Salida ante cambios paramétricos Analicemos las FT’s de los sistema a LA y a LC W (s) = Dol(s) Wref(s) A ts+1 A lazo abierto W (s) = Wref(s) Dcl(s) A ts+1 1 + A lazo cerrado Si =t es el parámetro de influencia, luego las sensitividades son: Y(s)   = W t -s ts+1 y(t)    Para Lazo Abierto Y(s)   = W t -s ts+1+DclA Para Lazo Cerrado

Sensitividad de Salida ante cambios Paramétricos (ejemplo ) 18 Sensitividad de Salida ante cambios Paramétricos (ejemplo ) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Tiempo (seg) Planta: A=2, =0.8 SC LA: Dol=0.5 SC LC: Dcl=10, Variación param.: =-20% ycl +ycl yol +yol ycl yol ycl +ycl 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ycl ZOOM yol +yol yol  sólo afecta el transitorio!

CONCLUSIÓN 19 y   = y t -s ts+1 Lazo abierto y   = y t -s Aumentando la ganancia del controlador Dcl es posible: 1) REDUCIR LA SENSITIVIDAD de variaciones de las constantes de tiempo comparativamente con el caso de lazo abierto y   = y t -s ts+1 Lazo abierto y   = y t -s ts+1+DclA Lazo cerrado 2) Aumentando la ganancia del controlador Dcl es posible reducir las constantes de tiempo del sistema lo cual implica AUMENTAR la RAPIDEZ de la planta controlada en lazo cerrado 3) Aumentando la ganancia del controlador Dcl en forma desmesurada, el SC puede entrar en un estado de inestabilidad.