Francisco Carlos Calderón Transformada Z Francisco Carlos Calderón PUJ 2009

Objetivos Definir la trasformada Z y estudiar algunas de sus propiedades. Analizar sistemas discretos utilizando la transformada Z.

La transformada Z Sea La entrada a un SLIT, su salida está determinada por: Por lo tanto al reemplazar se obtiene:

La transformada Z Esta sumatoria de define como la trasformada Z de h[n].

La transformada Z Siendo Xs(s) la transformada de laplace de una señal muestreada mediante un tren de impulsos de periodo T

La transformada Z La transformada Z de una señal en tiempo discreto de define como: Si la señal es causal, la transformada Z bilateral cambia a la transformada Z unilateral definida como:

La transformada Z Si =>

Convergencia de la transformada Z Para que la transformada Z converja, es necesario que la Transformada de Fourier de: converja, por lo tanto la transformada Z, posea un intervalo de valores de z para los cuales la transformada converge. Este intervalo de valores se conoce como la ROC (Region of Convergence).

Convergencia de la transformada Z Hallar X(z). Hallar X(z). Con ROC Ejemplo 2:

Propiedades de la ROC i) La ROC de X(z) consiste de un “anillo” en el plano z centrado alrededor del origen. ii) La ROC no contiene ningún polo. iii) Si x[n] es de duración finita, entonces la ROC es el plano z completo, excepto posiblemente en z = 0 ó z =  . ROC = Todo el plano Z ROC = Todo el plano Z, con excepción z=0 ROC = Todo el plano Z, con excepción z=

Propiedades de la ROC iv) Si x[n] es una secuencia derecha y si el círculo |z| = r0 está en la ROC, entonces todos los valores finitos de z para los cuales |z| > r0 también estarán en la ROC. v) Si x[n] es una secuencia izquierda y si el círculo |z| = r0 está en la ROC, entonces todos los valores finitos de z para los cuales 0 < |z| < r0 también estarán en la ROC.

Propiedades de la ROC vi) Si x[n] es bilateral y si el círculo |z| = r0 está en la ROC, entonces ésta consistirá de un anillo en el plano z que incluya al círculo |z| = r0. vii) Si la trasformada Z de x[n], es racional, entonces su ROC está limitada por los polos o se extiende al infinito

Propiedades de la ROC viii) Si la trasformada Z de x[n], es racional, y si x[n] es derecha, entonces la ROC es la región en el plano z fuera del polo más alejado. Donde puede incluir o no a |z| =  . ix) Si la trasformada Z de x[n] es racional, y si x[n] es izquierda, entonces la ROC es la región en el plano z dentro del polo diferente de cero más interno. Donde puede incluir o no a z = 0.

Transformada Z inversa Se acuerdan del teorema de los residuos???

Propiedades de la transformada Z Linealidad: Desplazamiento de tiempo: ROC = R (Con posible adición o eliminación de cero o infinito.

Propiedades de la transformada Z Escalamiento en Z Convolución con ROC = |z0|R.

Propiedades de la transformada Z Inversión en tiempo Conjugación ROC = 1/R ROC = R.

Propiedades de la transformada Z Diferenciación en e dominio de Z Teorema del valor inicial ROC = R. Si , entonces

Referencias Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 8 Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 10 Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ