Optimización No Lineal Problemas de Aplicación García Acuña Christian

Objetivo El objetivo de esta presentación es tratar de resolver problemas que se presentan en diferentes circunstancias de la vida mediante una gran variedad de métodos con los que podemos interactuar de diferentes formas, ya sea manual o de manera computacional con la implementación de diferentes softwares que nos ayudan a resolver estos problemas.

Problema 1.- Un joven ingeniero de una compañía a sintetizado un nuevo fertilizante hecho a partir de dos materias primas. Al combinar cantidades de las dos materias primas “X” y “Y”, la cantidad de fertilizante que se obtiene viene dada por Z = 4X + 2y – 0.5X2 – 0.25Y2. Se requiere $480 por unidad de materia prima X y $300 por unidad de materia prima Y que se emplee en la creación del fertilizante, si la compañía dispone de $24000 para la producción de las materias primas, se desea saber la cantidad de cada materia prima para maximizar la cantidad de fertilizante.

Solución Las variables de decisión del problema X = Cantidad de materia prima X Y = Cantidad de materia prima Y El objetivo es Maximizar la cantidad de fertilizante Z( X, Y ) Max Z = 4x + 2y – 0.5x2 – 0-25y2

Solución Restricciones del problema Ya que el costo no puede exceder el presupuesto que tiene la empresa para el fertilizante. 480x + 300y ≤ 24000 Restricciones de no negatividad X ≥ 0 , Y ≥ 0 Modelo Max Z = 4x + 2y – 0.5x2 – 0-25y2 S.A.

Solver

Lingo

Lingo

Conclusión Solver Ya resuelto el problema en dos softwares podemos ver la variación que existe entre los resultados de los mismos. De tal modo que la solución encontrada con Solver. X = 7.9999 ≈ 8 Y = 15.9999 ≈ 16 De tal modo que se necesitan alrededor de 8 unidades de materia prima X y 16 unidades de materia prima Y para poder tener la máxima producción de fertilizante que esta dada por 32 unidades.

Solución Lingo La solución encontrada con Lingo, como ya lo habíamos comentado es diferente a Solver esta dada por. X = 4 Y = 4 De tal modo que se necesitan alrededor de 4 unidades de materia prima X y otras 4 unidades de materia prima Y para poder tener máxima producción de fertilizante que esta dado por 12 unidades.

Problema 2.- Una empresa produce refrigeradores y ha firmado un contrato para suministrar al menos 150 unidades en tres meses, 50 unidades al final del primer mes, 50 al final del segundo y 50 al final del tercero. El costo de producir una cantidad de refrigeradores en cualquier mes es su cuadrado. La empresa puede producir si lo desea mas refrigeradores de los que necesita en cualquier mes y guardarlos para el siguiente, siendo el costo de almacenaje de $12 por unidad al mes. Suponiendo que no hay inventario inicial, formular el programa adecuado para determinar el numero de refrigeradores que deben producirse cada mes, para minimizar el costo total.

Solución Las variables de decisión del problema X = Número de refrigeradores a producir en el primer mes. Y = Número de refrigeradores a producir en el segundo mes. Z = Número de refrigeradores a producir en el tercer mes. El objetivo es minimizar el costo Costo Total = Costo de producción + Costo de almacenaje del segundo mes + Costo de almacenaje del tercer mes

Solución Costo de producción = X2+ Y2+ Z2 Costo de almacenaje del segundo mes = 12(X − 50) Costo de almacenaje del tercer mes = 12(X + Y − 50) Por lo tanto Q(X,Y,Z) = X2+ Y2+ Z2 + 12(X − 50) + 12(X + Y − 50)

Solución Restricciones del problema Atender la demanda al final del primer mes, X ≥ 50 Atender la demanda al final del segundo mes, X − 50 + Y ≥ 50 Atender la demanda al final del tercer mes, X + Y − 100 + Z ≥ 50 No negatividad de las cantidades: Y ≥ 0; Z ≥ 0 Por tanto Modelo Min Q = X2+ Y2+ Z2 + 12(X − 50) + 12(X + Y − 50) s.a X ≥ 50 X − 50 + Y ≥ 50 X + Y − 100 + Z ≥ 50 Y ≥ 0; Z ≥ 0

Solver

Lingo

Lingo

Conclusión Como podemos observar hay diferencias entre los resultados de los dos softwares ya que en solver dice: X = 50 Y = 47 Z = 53 De este modo podemos observar que se se necesitan alrededor de 50 refrigeradores al termino del primer mes, 47 refrigeradores al termino del segundo mes y 53 refrigeradores al termino del tercer mes , con esto se minimiza el costo de producción para poder sacar bien el trabajo y que además esta dado por $10,482

$10,482 (Solver) < $12, 732 (Lingo) Conclusión Analizando el problema con Lingo la solución esta dada por X = 72 Y = 78 Z = 0 De tal modo que se necesitan 72 refrigeradores al termino del primer mes, 78 refrigeradores al termino del segundo mes y 0 refrigeradores al termino del tercer mes, así que el ultimo mes ya no se trabaja y además se minimiza el costo de producción que esta dado por $12, 732. Como se púede observar la solución obtenida con Solver y la solución obtenida con Lingo, la solución de Solver viene dada mejor ya que el costo obtenido es más chico que el costo obtenido con Lingo $10,482 (Solver) < $12, 732 (Lingo)