Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Hiperestáticos Método de las Deformaciones Ejercicio N° 4 de la Guía de Problemas Propuestos Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Consideraciones Preliminares El método propone fijar los nudos tanto angular como linealmente, analizando el efecto que tienen las cargas externas sobre la estructura; para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos. Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de vínculo:

Consideraciones Preliminares Finalmente, aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto. Por cada componente de desplazamiento desconocida se establece una ecuación de equilibrio. Formando un sistema de ecuaciones que permite determinar dichas deformaciones y mediante las mismas obtener los esfuerzos en la estructura. Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de vínculo:

Consideraciones Preliminares Los esfuerzos en “pie de barras” están tabulados y podemos obtenerlos para vigas doblemente empotradas y empotradas/articuladas Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de vínculo:

Definimos el Sistema Fundamental: Resolución Procedemos a fijar angularmente el nudo B de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será B = 0. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura y estará conformado por una barra empotrada-articulada (barra horizontal BC), y una barra empotrada-empotrada (barra vertical AB). Definimos el Sistema Fundamental:

Definimos el Sistema Fundamental: Resolución Una vez hecho esto, analizaremos el efecto que tienen las cargas externas (q) sobre este sistema fundamental; para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas (en este caso la rotación del nodo B) y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos. Aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto. Definimos el Sistema Fundamental:

Analizaremos el efecto que tienen las cargas externas Como puede observarse en la figura, las cargas exteriores deformarán la barra AB de acuerdo con el siguiente esquema: Por lo tanto, de tablas, el momento en el nodo B debido a la acción de las cargas exteriores será: Analizaremos el efecto que tienen las cargas externas

El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto combinado será para un valor unitario de q: Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones impuestas (rotación del nodo B)

Planteamos las ecuaciones de compatibilidad Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación de las cargas exteriores y los giros del nodo B deberán ser nulos: Y obtenemos el valor del giro del nodo B: Planteamos las ecuaciones de compatibilidad

Calculamos ahora las reacciones de vínculo en A Aplicando el principio de superposición resulta: M’A Q’A N’A Calculamos ahora las reacciones de vínculo en A

Calculamos ahora las reacciones de vínculo en C Q’C Aplicando el principio de superposición resulta: Calculamos ahora las reacciones de vínculo en C

Procedemos a fijar angularmente el nudo B de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será B = 0. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura: Hallemos los valores de los esfuerzos que se producen cuando se produce un asentamiento vertical del vínculo C de valor d

Por lo tanto, de tablas, el momento en el nodo B debido al asentamiento del vínculo C será: En el Fundamental consideramos un asentamiento vertical del vínculo C de valor d

El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto combinado será para un valor unitario de q: Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones impuestas (rotación del nodo B)

Planteamos las ecuaciones de compatibilidad Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación del asentamiento del vínculo C y los giros del nodo B deberán ser nulos: Y obtenemos el valor del giro del nodo B: Planteamos las ecuaciones de compatibilidad

Calculamos ahora las reacciones de vínculo en A Aplicando el principio de superposición resulta: MA’’ QA’’ NA’’ Calculamos ahora las reacciones de vínculo en A

Calculamos ahora las reacciones de vínculo en C QC’’ Aplicando el principio de superposición resulta: Calculamos ahora las reacciones de vínculo en C

Hallemos los efectos de un incremento de temperatura (de valor t) Procedemos a fijar angularmente el nudo B de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción impuesta al sistema será B = 0. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura: coeficiente de dilatación libre de un prisma () que mide el alargamiento o acortamiento por unidad de longitud, cuando la temperatura varía 1 °C. Hallemos los efectos de un incremento de temperatura (de valor t)

Por lo tanto, de tablas, el momento en el nodo B debido al desplazamiento del nodo B será: En el Fundamental consideramos un desplazamiento del vínculo B de valor d

El esquema sería el que se presenta en la figura, y su efecto combinado será para un valor unitario de q: Imponemos ahora pequeños desplazamientos para las restricciones impuestas (rotación del nodo B)

Planteamos las ecuaciones de compatibilidad Como el sistema se encuentra en equilibrio, los momentos generados por la combinación del desplazamiento del nodo B y los giros del nodo B deberán ser nulos: Y obtenemos el valor del giro del nodo B: Planteamos las ecuaciones de compatibilidad

Calculamos ahora las reacciones de vínculo en A Aplicando el principio de superposición resulta: MA’’’ QA’’’ NA’’’ Calculamos ahora las reacciones de vínculo en A

Calculamos ahora las reacciones de vínculo en C QC’’’ Aplicando el principio de superposición resulta: Calculamos ahora las reacciones de vínculo en C

NC QC MA QA NA Resumiendo Si nuestro problema, además de tener superabundancia de vínculos, está afectado por un asentamiento en uno de ellos y además por una diferencia de temperaturas, aplicando el principio de superposición resulta: NC QC MA QA NA Resumiendo

Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias