Taller de Proyecto: Diseño de Sistemas de Elevación de Agua Santiago 31 de Marzo 2009 Taller de Proyecto: Diseño de Sistemas de Elevación de Agua

Fuerzas de Presión Fuerzas de Inercia y presión

Por similitud cinemática

Si además fuerzas viscosas Si se usa el mismo fluido en modelo y prototipo

ANÁLISIS DIMENSIONAL Cuando no existen soluciones directas de problemas que se nos pueden plantear, se ha de recurrir al análisis experimental. En general se aplican estas técnicas cuando se conocen las variables que intervienen en el problema (fenómeno físico), mientras que la relación que existe entre ellas se desconoce.

Pensemos que se quiere determinar la fuerza de arrastre de una pelota lisa de diámetro D, que se mueve a una cierta velocidad v en un fluido viscoso. Otras variables involucradas son las que nos definen el fluido, es decir, la densidad y la viscosidad absoluta (r, m), por lo que podemos establecer que la fuerza de arrastre F, es una función desconocida de estas variables: F = f ( D, v, r, m ) total de 10.000 pruebas experimentales

Para evitar esta tediosa tarea, se ha creado un procedimiento denominado ANÁLISIS DIMENSIONAL el problema o fenómeno físico, se representa por una función de los denominados “grupos o números adimensionales”, en vez de las variables que intervienen Con este procedimiento, se reduce el número de variables, con lo que la experimentación disminuye 

Se seleccionan dimensiones básicas independientes Se seleccionan dimensiones básicas independientes. Al utilizar el Sistema Internacional de unidades, estas dimensiones básicas son: - L, longitud. - M, masa. - T, tiempo. - K, grados kelvin. Ejemplo: la velocidad

grupo o número adimensional, aquel cuya dimensión es 1 o no tiene dimensiones Ejemplo:

Teorema de pi o Buckingham. Si un proceso físico es gobernado por una relación dimensionalmente homogénea que comprende a n variables dimensionales “xi”, tales como: x1 = f (x2, x3,...., xn) entonces, existe una relación equivalente que contiene un número (n - k) de parámetros adimensionales, tales como: P1 = f’(P2, P3,......,Pn-k) donde los “Pi” son números adimensionales y “k” es igual al número de dimensiones fundamentales contenidas en las variables “xi”.

Plantear una relación funcional para la relación dimensional que se investiga, asegurándose de incluir todos los parámetros dimensionales relevantes

Determinar el número de parámetros adimensionales que se requieren construir [Hfricción] = L [ L ] = L [ D ] = L [ V ] = L/T [  ] = M/L3 [  ] = M/(L*T) [  ] = L n=7 k=3 n-k=4

[L] = f ([L]a, [L]b, [L*T-1]c, [M*L-3]d, [M*L-1*T-1]e, [L]f) Cálculo de los números adimensionales [L] = f ([L]a, [L]b, [L*T-1]c, [M*L-3]d, [M*L-1*T-1]e, [L]f) Para L 1=a+b+c-3d-e+f Para M 0=d+e Para T 0=-c-e 3 ecuaciones 6 incógnitas

[L] = f ([L]b, [L*T-1]c, [M*L-3]d) Se escogen k (=3) de las n (=7) variables de manera que contengan a las k dimensiones fundamentales (MLT) y se denomina base. Base (v, D, r) Se expresan las otras n-k variables en función de la base f(Hfricción,v,D,r)=0 1=b+c-3d 0=c=d [L] = f ([L]b, [L*T-1]c, [M*L-3]d) b=1

f(m,v,D,r)=0 [M*L-1*T-1] = f ([L]b, [L*T-1]c, [M*L-3]d) -1=b+c-3d 1=d -1=-c c=1 d=1 b=1

f(L,v,D,r)=0 [L] = f ([L]b, [L*T-1]c, [M*L-3]d) 1=b+c-3d 0=d 0=-c b=1

De la misma manera Por lo tanto:

Fuerzas superficiales: Esta fuerza de inercia se puede expresar como: Fuerzas másicas: Fuerzas debido a la gravedad: Fuerzas superficiales: Fuerzas normales o de presión:

Fuerzas tangenciales o de fricción debido a la viscosidad: Fuerzas tangenciales debido a la tensión superficial: Fuerzas normales debido a la compresibilidad:

Sumando todas las fuerzas e igualando a las de inercia, obtenemos: Dividiendo por las fuerzas de inercia:

velocidad Número de Froude. ;

velocidad Número de Euler. ;

Viscosidad cinemática velocidad Número de Reynolds. ; Viscosidad dinámica Viscosidad cinemática

velocidad Número de Weber. ;

velocidad del sonido en el fluido Número de Mach. ; velocidad del sonido en el fluido

Esta condición sólo se cumple cuando el modelo y el prototipo tienen el mismo tamaño.  Afortunadamente ☺, en un buen número de casos puede prescindirse de la influencia de tres de las fuerzas y consecuentemente, de sus tres adimensionales correspondientes Para una semejanza completa, considerando que intervienen todas las fuerzas señaladas se debería cumplir: EuP = Eum; FrP = Frm; MaP = Mam; ReP = Rem; WeP = Wem

En ocasiones basta asegurar que el valor del número esté dentro de ciertos rangos para asegurar la semejanza frente a esa fuerza.

Antofagasta – El Trocadero http://www.inh.cl/cms/index.php?option=com_content&view=article&id=35&Itemid=16 Antofagasta – El Trocadero