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Clase 18: La Función Exponencial Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

Temas Definición de función exponencial Gráfica de la función exponencial Aplicaciones Número 𝑒 Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

Introducción 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 𝑔 𝑥 = 2 𝑥 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 𝑔 𝑥 = 2 𝑥 𝑥 𝑔(𝑥) Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

Función Exponencial Una función exponencial con base 𝑏 es una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑥 , donde 𝑏 y 𝑥 son números reales tal que 𝑏 > 0 y 𝑏 es diferente de uno. Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

Gráfica de la función exponencial: 𝒂 𝒙 Si 0 < 𝑎 < 1 Si 𝑎 > 1 Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

Ejemplo: Crecimiento de bacterias El número de bacterias en cierto cultivo aumentó de 300 a 600 entre las 7:00 a.m. y las 9:00 a.m. Si el crecimiento esta dado por 𝑓(𝑡)=300∗ 2 𝑡 2 donde el número 𝑓(𝑡) representa el numero de bacterias en 𝑡 horas. Estime el número de bacterias a las 11:00 a.m. y 1:00 p.m. Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

Ejemplo: Interés compuesto Si invierto $100 a una tasa de interés anual del 12%: Si invierto $100 a una tasa de interés anual del 12% capitalizada semestralmente: Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

Interés compuesto ∴ 𝑡 𝑡 =𝑃 1+ 𝑖 𝑛 𝑛∗𝑡 Si se invierte una cantidad 𝑃 a una tasa de interés 𝑖 capitalizada 𝑛 periodos, entonces la cantidad de dinero después de un tiempo 𝑡 esta dada por: 𝑡 0 →𝑃 𝑡 1 →𝑃+𝑃∗ 𝑖 𝑛 =𝑃 1+ 𝑖 𝑛 𝑡 2 →𝑃 1+ 𝑖 𝑛 +𝑃 1+ 𝑖 𝑛 ∗ 𝑖 𝑛 =𝑃 1+ 𝑖 𝑛 2 ∴ 𝑡 𝑡 =𝑃 1+ 𝑖 𝑛 𝑛∗𝑡 Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

Ejercicios Si un fondo de ahorros paga interés al 12% anual, capitalizado trimestralmente, ¿cuánto dinero le será entregado dentro de 2 años si ahorra hoy $1.000? Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

El número 𝒆 Si en el anterior calculo de interés compuesto tomamos a t=1, P=1, i=1 obtenemos: 𝐴= 1+ 1 𝑛 𝑛 Si n es un entero positivo, entonces: 1+ 1 𝑛 𝑛 →𝑒≈2.71828 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛→ ∞ 𝑛 1 10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 𝐴 2.0000 2.5937 2.7048 2.7169 2.7181 2.71826 2.71828 Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

Ejemplo Si una cantidad 𝑚 0 aumenta o disminuye instantáneamente a una razón proporcional a su valor, entonces el valor en cualquier tiempo esta dado por: 𝑚 𝑡 = 𝑚 0 𝑒 𝑟𝑡 donde 𝑟>0 es la rapidez de crecimiento(o 𝑟<0 es la rapidez de decrecimiento) Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

Ejemplo Si 250 mg de un elemento radiactivo se desintegra instantáneamente hasta 200 mg en 48 horas, determine que cantidad habrá después de una semana. Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia

Ejercicios Vamos para la Universidad | Gobernación de Antioquia – Universidad de Antioquia