Función Exponencial y Logarítmica Crecimiento poblacional pH Interés Compuesto Radioactividad

PRERREQUISITOS Aplicar las leyes de exponentes. Evaluar expresiones con exponentes negativos y exponentes racionales. Evaluar funciones. Resolver ecuaciones lineales y cuadráticas.

OBJETIVOS Reconocer las funciones exponenciales y logarítmicas. Trazar la gráfica de una función exponencial y de una función logarítmica. Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Aplicar las propiedades de los logaritmos Aplicar las funciones exponenciales y logarítmicas en diversas situaciones. Modelar un fenómeno natural mediante una función exponencial o logarítmica.

¿Cómo es una función exponencial? Definición Una función exponencial es de la forma:  f(x) = Abx  donde b es un número tal que b > 0 y b  1. La letra b se conoce como la base. La letra A es un número real. El dominio de la función son los números reales o sea que la variable x puede asumir cualquier valor real. Observe que la variable está en el exponente

EJEMPLOS Todas las siguientes son funciones exponenciales: F(x) = 2x H(x) = 102x+3 G(x) = 8(¼)x-1 Q(x) = (½)2x P(x) = 5(3) –x M(x) = (¾)4x

Esta base se utiliza mucho en fenómenos naturales BASE NATURAL e Una base que se usa en las ciencias es la base e; e es un símbolo como  que representa el número 2.718281828…, es decir, e = 2.71828. Así podemos considerar la función exponencial cuya base es e: Esta base se utiliza mucho en fenómenos naturales

¿Dónde se usan las funciones exponenciales?

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¿Dónde se usan las funciones exponenciales? 7.13 billones

Gráfica de f(x) = 2x Lo primero es hacer una tabla de valores. Como el dominio son los reales podemos seleccionar cualquier número para sustituir en la x. Se recomienda usar una calculadora  X Y -3 0.125 -2 0.25 -1 0.5 0 1 1 2 2 4 3 8   Recuerde! f(-3)= 2-3=.125

Propiedades de la gráfica anterior  Intercepto en y: f(0) = 20 = 1 (0,1) Intercepto en x: 2x = 0 Esta ecuación no tiene solución por consiguiente, no hay intercepto en x.   Observaciones: Gráfica creciente Asíntota horizontal en y = 0 Intercepto en y: (0,1) No hay intercepto en x

Gráfica de f(x)= x y -3 8 -2 4 -1 2 1 .5 .25 3 .125 ¿Qué propiedades observa en la gráfica?

Observaciones Las gráficas pueden ser crecientes o decrecientes. De mirar la función en su forma algebraica se puede determinar si la gráfica es creciente o decreciente. Si b >1 entonces la gráfica de f(x) = bx es creciente. Si 0 < b < 1, entonces f(x) = bx es decreciente. Puede ocurrir que la función aparezca en la forma f(x) = 4-x, pero esta función es equivalente a f(x) = (¼)x y por lo tanto, es decreciente.  

Aplicaciones La curación de una herida se puede modelar por una función exponencial. Si A0 representa el área original de la herida y si A representa el área en función del tiempo entonces Donde n son los días después de ocurrir la herida. Si la herida original tiene 100 milimetros cuadrados y no hubo infección entonces cuán grande es el área de la herida pasados 3 días?

Ecuaciones Exponenciales Una ecuación exponencial es una ecuación donde la variable está en el exponente y tiene un signo de igualdad. Por ejemplo:  3x = 9 52x+1 = 125x 6x = 7 42x-2 = 8

Método para resolver ecuaciones exponenciales Para resolver una ecuación exponencial necesitamos el siguiente teorema  Teorema: Si bx = by entonces x = y.   El teorema dice que si tenemos 2 potencias con bases iguales entonces sus respectivos exponentes son iguales. Este teorema nos da la clave para resolver ecuaciones exponenciales. Una analogía puede ser que si dos libros son iguales la tercera página de cada uno son también iguales.

Recuerde. Si las bases son iguales, los exponentes son iguales. Ejemplo: Resuelva 3x = 9   Solución: Nuestro objetivo es hallar el valor de la variable x. El procedimiento a seguir es utilizando el teorema. O sea, tratamos de poner bases iguales 3x = 9 3x = 32 Por lo tanto, x = 2 Recuerde. Si las bases son iguales, los exponentes son iguales.

Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación 52x+ 1 = 125x 52x+1 = (53)x   Por lo tanto, 2x+1 = 3x 1 = 3x -2x 1 = x Escribimos 125 con la base 5.

Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación 42x-2 = 8 (22)2x-2 = 23 24x-4 = 23   Por lo tanto: 4x -4 = 3 4x = 7 x = 7/4

Ejemplo: Resuelva 6x = 7 Con el procedimiento utilizado en los anteriores casos no se puede resolver esta ecuación ya que no hay forma de poner las bases iguales. Más adelante usaremos otra técnica para resolver esta ecuación.  

Función logarítmica Definición: Una función logarítmica tiene la forma:   f(x) = logbx donde b > 0, b  1. El dominio de las funciones logarítmicas es el intervalo (0,  ), o sea los números reales positivos.

Ejemplos Las siguientes son funciones logarítmicas.   f(x) = log3 (x + 1) g(x) = log x2 h(x) = log2( x -3 ) p(x) = log½ (3x3 + 2x - 4)

Observaciones Hay dos bases que se utilizan mucho al trabajar con logaritmos: la base 10 y la base e. Cuando nos referimos a la base 10 sólo escribimos log x, es decir, no indicamos la base pues se sobreentiende que la base es 10. Cuando nos referimos a la base e, llamada base natural, escribimos ln x; es decir, ln x significa logex. Tanto log x como ln x son teclas que aparecen en las calculadoras científicas.

Observaciones . Si queremos hallar log 100 sólo tenemos que marcar la tecla log y después 100 o primero entrar el número 100 y después la tecla log, esto depende de la calculadora que esté usando. La respuesta es 2. Asimismo, si se desea hallar ln 3, debe marcar la tecla ln y después el número 3 o el 3 y después la tecla de ln. Debe verificar como funciona su calculadora. La respuesta que obtiene es ln 3 = 1.098612289.

Gráfica de g(x) = log2x Solución: Construya una tabla de valores. Para los valores de x deben seleccionar potencias de 2, es decir, 2, 4, 8, ½ , ¼ , etc. Recuerde que el dominio son los reales positivos.  

Gráfica de g(x) = log2x Observe las potencias de 2 en la primera columna x y ½ -1 1 2 4 8 3

Gráfica

Comparación Compare estas dos gráficas y sus tablas de valores ¿ qué observa? g(x) = log2x F(x) = 2x

Forma Equivalente Sabemos que g(x) = log2 x , pero g(x) = y o sea que escribimos y = log2 x y = log2 x es equivalente a 2y = x Note que el logaritmo es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener x.

Resumiendo Escribir y = log2 x es equivalente a escribir 2y = x . EXPONENTE y = log2 x 2y = x BASE NúMERO

Cálculo de logaritmos Halle log2 (1/64) Recuerde que como la base es 2 , no se puede usar la calculadora. Pero si podemos pasar esa expresión a su forma equivalente exponencial. Sabemos que ese logaritmo nos da un número N . Escriba log2 (1/64) = N y cambie a su forma equivalente: 2N = 1/64  

Cálculo de logaritmos 2N = 1/64 Observe que tenemos una ecuación exponencial ¿Cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales? Poniendo las bases iguales ! Por lo tanto, N = -6. Esto implica que

Cálculo de logaritmos Halle log381 Por lo tanto, N = 4 lo cual implica que log381 = 4

Propiedades de los logaritmos Sean A y C números reales positivos y N cualquier número real 1. logb 1 = 0 2. logbb = 1 3. logb (AC) = logb A + logb C 4. logb (A/C) = logb A - logb C 5. log b AN = N logb A  

Propiedades de los logaritmos Las propiedades nos ayudarán a simplificar logaritmos así como también, resolver ecuaciones logarítmicas.

Ejemplo: Sea Halle: Logb10 Logb8 Logb ½ Logb25b Usa las propiedades!!!!

Soluciones al Ejemplo 1 Anterior Logb10 = Logb(2)(5) = Logb2 +Logb5 = .23 + .42 = .65 El 10 se escribe como un producto Se usa la tercera propiedad Sustituir los valores del logaritmo Sumar

Soluciones al Ejemplo 2 Anterior Logb8 = Logb23 = 3Logb2 = 3(.23) = .69 El 8 se escribe como una potencia de 2 Se usa la quinta propiedad Sustituir el valor del logaritmo Multiplique

Soluciones al Ejemplo 3 Anterior Logb(1/2) = Logb1 - Logb2 = 0 - .23 = -.23 Se usa la cuarta propiedad Sustituir los valores del logaritmo Sumar

Soluciones al Ejemplo 4 Anterior Logb25b = Logb25 + logbb = Logb52 + 1 = 2(.42) + 1 = 1.84 Se usa la tercera propiedad Se usa la quinta y segunda propiedad Sustituir el valor del logaritmo Sumar

Otro uso de las propiedades de los logaritmos: resolver ecuaciones logarítmicas Resuelva log 3 (x - 2) + log 3 (x - 4) = 2

Solución log 3 (x - 2) + log 3 (x - 4) = 2 log 3 (x - 2)(x - 4) = 2 Usar propiedad 3 log 3 (x - 2) + log 3 (x - 4) = 2 log 3 (x - 2)(x - 4) = 2 log 3 (x2 –6x + 8) = 2 (x2 –6x + 8) = 32 x2 –6x + 8 – 9 = 0 x2 –6x –1 = 0 Multiplicar los dos binimios Ecuación cuadrática Cambiar a la forma exponencial Igualar a cero Usar fórmula cuadrática para resolver la ecuación

Continuación del ejemplo Obtenemos dos soluciones pero para este problema la única respuesta posible es la respuesta positiva ¿por qué?

De nuevo con las ecuaciones exponenciales Dijimos que 2x = 5 es una ecuación exponencial pero la técnica que habíamos estudiado para resolver la ecuación era poner las bases iguales. Sin embargo, en este ejemplo no lo podemos lograr. Por consiguiente, tenemos que estudiar otra técnica para resolver dichas ecuaciones.

Ecuaciones exponenciales La técnica consiste en hallar el logaritmo (puede ser base 10 o base natural e) de esos números en ambos lados de la ecuación:   2x = 5 ecuación dada log 2x = log 5 Hallar el log a ambos lados

Ecuaciones Exponenciales log 2x = log 5 x log 2 = log 5 Hallar el log a ambos lados Usar propiedad 5 Despejar para x, dividiendo entre log 2 Usar la calculadora para hallar los logaritmos

Ejemplo Resuelva Hallar el log a ambos lados Usar propiedad 5 Propiedad distributiva Reunir todas las x en un solo lado de la ecuación Factorizar la x Despejar para x dividiendo Usar calculadora

¿Conoces estos símbolos?

Aplicaciones Para estimar la edad de los huesos, los arqueólogos usan el isótopo 14C, el cual es radioactivo. La media vida de un isótopo es el tiempo que le toma a la mitad de la muestra dada desintegrarse. En el caso de 14C su media vida es 5730 años. Así que si en cierto momento una madera petrificada contiene 10 gramos de 14C le tomará 5730 años para que la madera sólo contenga 5 gramos. Cuando un organismo muere, la cantidad de 14C presente t años después de la muerte del organismo está dada por la fórmula.  A = A0ekt constante Cantidad al cabo de t años tiempo Cantidad original

Ejemplo ¿Qué por ciento de 14C permanece 4000 años después de muerto el organismo? Solución: Hagamos una tabla de valores con los datos dados. Recuerde que la variable independiente es t.   tiempo A (cantidad 14C) A0 5730 ½ A0 4000 ? No sabemos la cantidad original La mitad del material al cabo de 5730 años (media vida) Desconocemos la cantidad

Solución K = -.00012 Sustituir valores de la tabla Despejar para la base e Hallar logaritmo a ambos lados Propiedad de los logaritmos Propiedad de los logaritmos Despejar para k K = -.00012

Solución (continuación) Una vez que conocemos el valor de k se regresa a la fórmula original para sustituir el valor de k y el valor de t, es decir:   al cabo de 4000 años hay aproximadamente .618 de A0 o lo que es lo mismo hay 61.8% de A0.

FIN Si trabajas los ejercicios de práctica, tienes una buena posibilidad de obtener una buena nota en el examen.