Flexión y Corte Teoría de Jouravski Curso de Estabilidad IIb Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Datos: Dado que el sistema posee tanto simetría geométrica como simetría de cargas las reacciones de vínculo en A y B resultan: Con estos valores, graficamos los diagramas de esfuerzo Flexor y Corte: Si al reducir al baricentro de la sección en estudio, las fuerzas que actúan a uno u otro lado de la misma se obtiene momento flector M y esfuerzo de corte Q, como por ejemplo en el tramo AC o DB del eje de la figura, la solicitación a la que se encuentra sometido dicho tramo se denomina flexión transversal (flexión y corte asociado) Es de nuestro interés calcular el eje de un carretón solicitado por un par de fuerzas P y verificar las tensiones tangenciales

El momento flector M genera tensiones normales  en la sección transversal, tensiones que calculamos con la fórmula de Navier, así: donde, para la sección circular del eje resulta: y reemplazando en s y despejando d será: Adoptamos como valor inicial para el cálculo, un eje del carretón de diámetro d = 13 cm Dimensionemos en primer término el eje del carretón a la flexión pura, para posteriormente verificarlo al corte

Analizamos ahora, el efecto del corte en los tramos del eje AC y DB Debido a la relación que existe entre M y Q (dM/dz = Q) la presencia de esfuerzo de corte Q implica necesariamente la variación del momento flector M. La existencia de Q, originará además, tensiones tangenciales en las secciones transversales. La existencia de tensiones de corte  en la sección origina la existencia de deformaciones angulares  ( = /G). En la flexión transversal, a diferencia de la flexión pura, las secciones transversales de la barra no permanecen planas. El error que se comete al no considerar el alabeo de la sección es del orden de H/L (en valor unitario, donde H es la altura de la sección y L la luz entre apoyos) en el caso de vigas con esfuerzo de corte Q variable, y totalmente nulo en el caso de esfuerzo de corte Q constante. Por consiguiente en esas condiciones la tensión  calculada obtenida para flexión pura, es también válida para flexión transversal. Analizamos ahora, el efecto del corte en los tramos del eje AC y DB

Si planteamos el equilibrio en el volumen de control del elemento diferencial del eje situado por sobre el plano de corte longitudinal, las resultantes R1 y R2 de las fuerzas provocadas por las tensiones (z1 y z2) no serán iguales ya que los momentos flectores que las generan difieren en dM. volumen de control R1 R2 H PCL y La condición de equilibrio  FZi = 0 se puede escribir: R1+H-R2=0 En la dirección “z” actúan las tensiones normales z sobre las caras izquierda y derecha (z1 y z2 respectivamente). Definimos un plano de corte longitudinal (PCL) situado a una distancia “y” del eje neutro de la sección. Por medio de las dos secciones 1-1 y 2-2 distanciadas dz, aislamos un elemento diferencial del eje

Si suponemos yz = cte tendremos: y las resultantes R1 y R2 serán: H PCL y tyz y Reemplazando H, R1 y R2 en H = R2 - R1, resulta:  Expresión de Jouravski Si suponemos yz = cte tendremos:

El significado de cada factor en la fórmula de Jouravski es: Q: esfuerzo de corte en la sección estudiada (se obtiene del diagrama de esfuerzo de corte y generalmente se utiliza el valor máximo, sea positivo o negativo). El esfuerzo de corte Q depende de la coordenada “x” de la sección donde se calcula yz. Sx*: momento estático, respecto al eje “x” (plano de corte longitudinal), de la parte de la sección transversal que se encuentra por encima de la línea donde se calcula yz. by: ancho de la sección en correspondencia con la coordenada “y” donde se calcula yz . Jx: momento de inercia de la sección respecto del eje “x”. yz : tensión de corte longitudinal para la coordenada “y”. El significado de cada factor en la fórmula de Jouravski es:

Veamos que dice Cauchy respecto a las tensiones yz: De acuerdo a la ley de reciprocidad de las tensiones tangenciales (Cauchy), en el plano de la sección “xy” que es perpendicular al plano longitudinal “xz”, existen tensiones tangenciales de dirección vertical (zy) que serán numéricamente iguales a las longitudinales horizontales (yz). H PCL y tyz tzy y para que se satisfaga la condición de equilibrio  FYi = 0 debe ser: Veamos que dice Cauchy respecto a las tensiones yz:

y para la sección circular del eje resulta: el momento estático de la sección ubicado por sobre el plano de corte longitudinal es: y reemplazando by será: y reemplazando valores tendremos: distribución cuadrática valor mínimo para y = R valor máximo para y = 0 y para la sección circular del eje resulta:

Datos: C D verificamos las tensiones normales debidas a la flexión y las tangenciales debidas al corte en los punto C y D

las fibras ubicadas a una distancia R del plano de corte longitudinal que contiene al baricentro estarán solicitadas por tensiones s = s max y t = 0 las fibras ubicadas a distancias intermedias, por ejemplo y = R/2 será: las fibras ubicadas sobre el plano de corte longitudinal que contiene al baricentro estarán solicitadas por tensiones t = t max y s = 0 verificamos las tensiones normales debidas a la flexión y las tangenciales debidas al corte en los punto C y D

calculamos las tensiones principales En el presente estado plano de tensiones (todas las tensiones con subíndice “x” son nulas), las fibras superiores estarán sometidas a compresión mientras que las inferiores a tracción. Las tensiones máximas y mínimas las calculamos como sigue (fibras ubicadas a una distancia y = R/2 del plano de corte longitudinal): calculamos las tensiones principales

trazamos la correspondiente circunferencia de Mohr = 556 kg/cm2 60 kg/cm2 = 562,4 kg/cm2 = = 60 kg/cm2 trazamos la correspondiente circunferencia de Mohr

Analicemos los resultados obtenidos: La fibra más solicitada será la ubicada a una distancia R del plano de corte longitudinal que contiene al baricentro de la sección (s = s max y t = 0) En este caso resultan ser las tensiones principales: s1 = s max = 1111 kg/cm2 < sadm y s2 = s 3 = 0 Se justifica considerar al corte despreciable (frente a la solicitación por flexión) y dimensionar el eje sólo a flexión simple. Analicemos los resultados obtenidos:

Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias