Clasificar triángulos. TEOREMA DE PITÁGORAS I Objetivos: Clasificar triángulos. Comprender el significado geométrico del Teorema de Pitágoras y comprobarlo.

Cómo nombrar ángulos y líneas en un triángulo Cuando nombramos ángulos en un triángulo usamos letras mayúsculas para nombrar los vértices, yendo en orden horario o antihorario. El lado opuesto del vértice A se nombra “a” A b c El lado opuesto del vértice B se nombra “b”. C Introduce the labelling conventions for triangles. Tell pupils that in a triangle, the angle opposite the longest side is the largest angle. The angle opposite the shortest side is the smallest angle. El lado opuesto del vértice C se nombra “c” B a Este triángulo se nombra como ABC.

Cómo nombrar ángulos y líneas en un triángulo Completa cómo se nombran los lados y ángulos del triángulo. P r q ? Q p ? R ? Este triángulo se llama: PQR

Triángulo rectángulo Los triángulos se clasifican según sus propiedades. Un triángulo rectángulo contiene un ángulo recto. El lado opuesto del ángulo recto es el más largo, se llama hipotenusa.

Triángulo isósceles Los triángulos se clasifican según sus propiedades. Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales. Los lados iguales se indican mediante esas líneas. Las líneas de simetría se indican con las líneas punteadas. Los dos ángulos de la base son también iguales. Un triángulo isósceles tiene una línea de simetría.

Triángulo equilátero Los triángulos se clasifican según sus propiedades. Un triángulo equilátero tiene los tres lados y los tres ángulos iguales. An equilateral triangle is defined as having three equal sides. The three angles are equal as a consequence of this definition. Ask pupils to tell you the size of the three equal angles (180º ÷ 3). Un triángulo equilátero tiene tres líneas de simetría. Y tiene simetría de rotación de orden 3.

Triángulo escaleno Los triángulos se clasifican según sus propiedades. Un triángulo escaleno tiene los tres lados y los tres ángulos desiguales entre sí. No tiene líneas de simetría.

Clasificando triángulos ¿Qué tipo de triángulo es este? Es un triángulo isósceles y un triángulo rectángulo. This slide shows that a triangle can be both right-angled and isosceles. Ask pupils to tell you the size of all the angles in a right-angled isosceles triangle. Ask pupils: is it possible to have a right-angled equilateral triangle? (no); A right-angled scalene triangle? (yes) ¿Qué propiedades de simetría tiene? Tiene una línea de simetría y no tiene simetría rotacional.

La historia del teorema de Pitágoras El Teorema de Pitágoras establece una relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Se atribuye a Pitágoras de Samos, matemático y filósofo de la antigua grecia, pero pudo ser de cualquiera de sus discípulos. Explain that the theorem is named after Pythagoras because he, or a member of his society, was the first person known to have formally proven the result. Aunque fueron los Pitagóricos los que le dieron su nombre ya se conocía esta propiedad de los triángulos rectángulos en la antigua Babilonia, Egipto y China, al menos 1000 años antes de que Pitágoras naciera.

Teorema de Pitágoras ’ El Teorema de Pitágoras afirma que el área del cuadrado formado sobre la hipotenusa (cuadrado verde) del triángulo rectángulo … … tiene la misma área que la suma de las áreas de los cuadrados formados sobre los otros dos lados o catetos (cuadrados rojo y azul). area verde = área azul + área roja Pythagoras’ Theorem may be expressed as a relationship between areas, as shown here, or a relationship between side lengths. In fact, the area of any similar shapes may by drawn on the sides of a right-angled triangle. The area of the shape drawn on the hypotenuse, will be equal to the sum of the areas of the shapes drawn on the two shorter sides. See S9.4 Circles for a problem involving the areas of semi-circles drawn on the sides of a right-angled triangle.

Act 1: Comprobación del teorema de Pitágoras

Act. 1: Enunciado y comprobación del teorema de Pitágoras Colorea los cuadrados, escoge un color para cada tamaño. Recorta tres cuadrados y el triángulo y que los triángulos se apoyan exactamente en los lados de éste. Pega el triángulo y los cuadrados adosados a los lados del triángulo en tu cuaderno. Recorta los triángulos mediano y pequeño y cubre el cuadrado rojo para que sin que quede ningún hueco. Intenta buscar la manera más eficaz. (no pierdas los trozos) Pega los trozos que has compuesto formando un cuadrado como el rojo debajo. Escribe con tus palabras el enunciado del Teorema de Pitágoras. Escribe con tus palabras cómo has hecho la comprobación del teorema.

Act. 1: Comprueba el teorema de Pitágoras CUADRADO MEDIANO CUADRADO GRANDE     TRIÁNGULORECTÁNGUO Drag the vertices of the triangle to change the lengths of the sides and rotate the right-angled triangle. Ask a volunteer to come to the board and use the pen tool to demonstrate how to find the area of each square. For tilted squares this can be done by using the grid to divide the squares into triangles and squares. Alternatively, a larger square can be drawn around the tilted square and the areas of the four surrounding triangles subtracted. Reveal the areas of the squares and verify that the area of the largest square is always equal to the sum of the areas of the squares on the shorter sides. CUADRADO PEQUEÑO

Act.2 : Piensa y practica. Pág. 178 Act. 3: Investiga sobre Pitágoras y la escuela Pitagórica.

Teorema de Pitágoras c2 a2 b2 Si llamamos a la longitud de los lados del triángulo rectángulo a, b y c, siendo c la hipotenusa, entonces: El área del cuadrado grande es c × c or c2. c2 Las áreas de los cuadrados pequeños son a2 y b2. c a2 a Podemos escribir el Teorema de Pitágoras como: This slide shows how Pythagoras’ Theorem can be written as a relationship between the side lengths of a triangle with sides a, b and c, where c is the hypotenuse. Ask pupils to tell you what a2 is equal to. (c2 – b2). Ask pupils to tell you what b2 is equal to. (c2 – a2). b b2 c2 = a2 + b2

Una prueba del Teorema There many proofs of Pythagoras’s Theorem. Pupils could be asked to research these on the internet and make posters to show them. In this proof we can see that the area of the two large squares is the same: (a + b)2 Both of these squares contain four identical triangles with side lengths a, b and c. In each of the large squares the four triangles are arranged differently to show visually that the area of the square with side length c is equal to the sum of the areas of the squares with side lengths a and b. This can be shown more formally considering the first arrangement. The area the red square with side length c is equal to the area of the large square with side length (a + b) minus the area of the four green right-angled triangles. The area of the four green right-angled triangles is 4 × ½ab = 2ab. c2 = (a + b)2 – 2ab Expanding, c2 = a2 + 2ab + b2 – 2ab c2 = a2 + b2

El teorema de Pitágoras El teorema establece una relación entre la hipotenusa de longitud c y los catetos a yb: c a c2 = a2 + b2 b Podemos usar este teorema para: Reconocer si un triángulo es rectángulo. Stress that Pythagoras’ Theorem is only true for right-angled triangles. If we are given the lengths of all three sides of a triangle, therefore, we can use Pythagoras’ Theorem to check whether of not the triangle is a right-angled triangle by squaring the length of the two shorter sides, adding the squares together and checking whether or not this is equal to the hypotenuse squared. If we are given the lengths of two of the sides in a right-angled triangle, we can also use Pythagoras’ Theorem to find the lengths of the unknown side. This is demonstrated in S2.4 Finding unknown lengths. Para encontrar uno de los lados del triángulo rectángulo si conocemos los otros dos.