Universidad de las Ciencias Informáticas UCI MATEMÁTICA 1 Elaborado por: Prof. Iván Valido

Matemática 2 Clase Teórico-Práctica 4 Polinomios de Taylor

¿Por qué decimos que la función f(x)=senx es impar? Planteamiento de problemas 1 ¿Qué operaciones realiza un “asistente matemático” para calcular por ejemplo, sen 32º con la precisión exigida por el usuario? ¿Por qué decimos que la función f(x)=senx es impar? Por ejemplo en el ambiente de DERIVE

Una vía posible es la del diferencial Planteamiento de problemas 2 Se quiere encontrar una función lineal que aproxime a la función f(x)= ln(x+1) para valores “próximos” a xo=0 Una vía posible es la del diferencial

Planteamiento del problemas Recordemos que si una función f es diferenciable en xo podemos escribir el incremento f en la siguiente forma

Haciendo xo+h=x se tiene Planteamiento del problemas Donde Haciendo xo+h=x se tiene para

Planteamiento del problemas Donde se observa que para valores próximos a xo se tiene la aproximación

Hacemos f(x)=ln(x+1) y xo=0 se tiene Planteamiento del problemas Hacemos f(x)=ln(x+1) y xo=0 se tiene para valores “cercanos” a 0

Planteamiento del problemas Otra vía Como se conoce las funciones f(x)=ln(x+1) y g(x)=x son equivalentes para x 0, esto es

Luego ln(x+1)  x para valores “cercanos” a 0 Planteamiento del problemas Luego ln(x+1)  x para valores “cercanos” a 0

Gráficamente

Notación o pequeña de Landau Sean f y g son funciones infinitesimales para esto es La notación g(x)=of(x) significa que

Notación o pequeña de Landau La notación g(x)=of(x) Se lee g(x) es o pequeña de f(x) para Edmundo Landau (1877-1938), matemático alemán. Introduce la notación o pequeña en 1909

Notación o pequeña de Landau Este limite nos informa que el infinitésimo g(x) se “aproxima más rápidamente a cero” que el infinitésimo f(x) cuando x tiende a xo

Notación o pequeña de Landau Por ejemplo : x2=o(senx) para x0 debido a que (x-1)2 =o(lnx) para x1 debido a que

Polinomio de 2º grado Supongamos que ahora queremos aproximar a la función f(x)=ln(x+1) para valores proximos a xo=0 mediante el polinomio de 2º grado P2(x)=ax2+bx+c con las condiciones

La curva y=f(x) y el polinomio tienen la misma tangente en el punto. Polinomio de 2º grado La función evaluada en el punto tiene el mismo valor que el polinomio evaluado en el punto. La curva y=f(x) y el polinomio tienen la misma tangente en el punto. La curva y=f(x) y el polinomio tienen la misma concavidad en las proximidades del punto

Luego a=-1/2 b=1 c=0 por lo que Polinomio de 2º grado Luego a=-1/2 b=1 c=0 por lo que P2(x)=x-x2/2

Gráficamente y=ln(x+1) y=x-x2/2

Polinomios de Taylor Puede probarse que todo polinomio Pn de grado n podemos escribirlo como una suma finita de potencias del tipo (x-xo)k k=0,1,2,…,n esto es

Polinomios de Taylor Si ahora queremos que una función f con derivadas hasta el orden n en un intervalo I , que contiene a xo , cumpla con las condiciones

Polinomios de Taylor De manera análoga al ejemplo anterior se obtienen relaciones entre los coeficientes ak y las derivadas de orden k evaluadas en xo.

Polinomios de Taylor Definición Sea f una función definida en un intervalo I con derivadas hasta el orden n, xo punto interior de I. Al polinomio Pn de grado no mayor a n dado por

Polinomios de Taylor Le llamaremos polinomio de Taylor de grado n generado por f en el punto xo Definimos f (0) (xo)=f(xo) 0!=1 Brook Taylor, matemático inglés,1685-1731

Polinomios de Taylor En particular si xo=0 le llamaremos polinomio de Maclaurin de grado n generado por f. C Maclaurin, matemático escocés, 1698-1746

Ejemplo Escribir el polinomio de grado 3 generado por f(x)=arctanx en xo=1

Ejemplo 1

Ejemplo 1

Ejemplo 1 k= Tabla de coeficientes k= k= k=

Ejemplo 1 Desarrollado y simplificado

Gráficamente y=arctan (x) y=P3(x)

DERIVE Cómo obtener polinomios de Taylor con DERIVE?

DERIVE Cómo obtener polinomios de Taylor con DERIVE?

Término residual Definición Si Pn es el polinomio de Taylor generado por la función f alrededor de xo a la diferencia que denotaremos por Rn dada por Rn(x)= f(x) – Pn(x) le llamaremos término residual o resto de orden n.

Término residual De las condiciones Se tiene que

Término residual Lo que indica que el resto y todas sus derivadas son infinitésimos para xxo Además, puede probarse que Rn(x)=o((x-xo))n para xxo

Teorema Sea f una función definida en un intervalo (a,b) con derivadas hasta el orden n en xo(a,b). Entonces para xxo

Se le llama fórmula de Taylor de orden n con resto de Peano Teorema A la fórmula Se le llama fórmula de Taylor de orden n con resto de Peano G Peano matemático italiano 1852-1932

Ejemplo Ahora podemos escribir O también

Ejemplo Lo cual significa que

Teorema Fórmula de Taylor con resto de Lagrange Sea f una función n + 1 derivable en un intervalo (a,b) y xo(a,b). Entonces existe un punto c entre x y xo tal que

Observación La importancia Fórmula de Taylor con resto de Lagrange radica en que al considerar la aproximación se puede estimar cotas superior del módulo del error cometido.

Estimación del error Si E es el error cometido en una estimación, se conviene en que la estimación tiene una precisión de k decimales si  E  0.5 x 10-k

Estimación del error Si se desea una precisión de k cifras decimales al estima una suma se aproxima cada término con una precisión de k+1 decimales y se redondea el resultado final a k cifras

Ejercicios Escribir la fórmula de Taylor con resto de Lagrange para la función f(x)=x1/2 con n = 4 y xo= 100. a. Emplear la fórmula anterior para estimar . Acotar el error cometido

Debemos obtener las derivadas hasta el orden 4 de

Evaluando en xo =100 y dividiendo cada término por k!

Término residual R4(x)=(7/26)c-9/2(x-100)5 con c entre x y 100

Fórmula de Taylor f(x)=P4(x)+ R4(x)

Fórmula de Taylor f(102)=P4(102)+ R4(102) Con c entre 100 y 102

Ahora 8.75x10-10=0.875x10-9 0.875x10 -9 < 0.5x10 -8

Finalmente por lo que con una precisión de 8 cifras decimales

Ejercicios Calcular el número e con 3 cifras decimales exactas, esto es con un error no mayor que 10-4

Ejercicios Comencemos encontrando el polinomio de MacLaurin de grado n generado por la función f(x)=ex. Como f (k)(x)=ex para k=0,1,2,...,n se tiene que

Ejercicios Luego

Ejercicios Ahora el error absoluto que se comete al considerar que es para 0 < c < 1

Ejercicios Por lo tanto hay que encontrar un valor de n para el cual para 0 < c < 1

Ejercicios Se cumple a partir de n=7

Ejercicios Finalmente Por lo que e  2.718 con tres cifras decimales exactas

Ejercicios Escribir la fórmula de MacLarin con resto de Lagrange para la función f(x)=ln(x+1) con n = 4 a. Emplear la fórmula anterior para estimar ln(1.2) . Acotar el error cometido

Ejercicios Tabla de los coeficientes k f(k)(x) f(k)(0)/k! ln(x+1) 1 1/(x+1) 2 -1/(x+1)2 -1/2

Ejercicios Tabla de los coeficientes k f(k)(x) f(k)(0)/k! 3 -2/(x+1)3 -1/3 4 6/(x+1)4 1/4 5 -24/(x+1)5 -1/5/(c+1)

Ejercicios Polinomio de Taylor grado 4 Término residual Con c entre x y 0

Ejercicios Evaluación en 0.2 Término residual Con c entre x y 0

f(x)=ln(x+1) -0.0004 +0.0267 -0.02 +0.2 0.1823

Error máximo cometido Ahora como 0<c<0.2 el error máximo se obtiene para c=0

Error máximo cometido Lo cual indica que Por lo que ln1.2  0.182 con tres cifras decimales

Análisis gráfico n=1

Análisis gráfico n=2

Análisis gráfico n=3

Análisis gráfico n=4

Análisis gráfico n=5

Análisis gráfico n=6

Orientación para el estudio Sección 10.5 pag 520-528 Ejercicios propuestos 10.5 2,8,17,29,31,40

Orientación para el estudio Ejercicios propuestos 1. Mediante el polinomio de Taylor de grado 3 generado por f(x)=senx en xo= 0 obtener el número x1= 15 -3 como una aproximación de la raiz no nula de la ecuación x2-senx=0

Orientación para el estudio Ejercicios propuestos 2. Justificar la procedencia del la fórmula Descubierta por James Gregory en 1671 y redescubierta por Leibniz en 1673