MATEMATICA I

CONTENIDOS PRODUCTOS NOTABLES FACTORIZACION EJ DE PROD. NOT Y FACT

OBJETIVOS Identificar casos de productos notables de expresiones algebraicas Determinar productos notables por simple inspección Factorizar expresiones algebraicas de los casos más usuales

Productos Notables Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares, cumplen ciertas reglas fijas; es decir, el resultado puede se escrito por simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación.

1) CUADRADO DE UNA SUMA (DIFERENCIA) DE DOS TÉRMINOS O CANTIDADES: (a+b) 2 = a2 + 2ab + b2 (a-b) 2 = a2 - 2ab + b2 Ejemplos: (x+2)2 = x2 +2(x)(2)+(2)2= x2+4x+4 (2a-1)2 =( 2a)2 - (2)(2a)(1)+(1)2= 4a2-4a+1 (2m+4n)2 =( 2m)2 + (2)(2m)(4n)+(4n)2= 4m2+16mn+16n2

2) PRODUCTO DE UNA SUMA DE DOS TÉRMINOS POR SU DIFERENCIA (SUMA POR DIFERENCIA): (a + b)(a - b) = a2 – b2 Ejemplos: (b+1) (b-1) = (b)2 –(1)2 = b2-1 (2x+3y) (2x-3y) = (2x)2 –(3y)2 = 4x2-9y2

3) PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN: (x +b)(x+d) = x2 +(b+d)x+ b.d EJEMPLOS: (x + 3 ) ( x + 2 ) = x2 +( 3+2) x + 3.2 = x2 + 5x + 6 (a + 8 ) ( a – 7 ) = a2 + (8 – 7 ) x + 8(-7) = a2 + a – 56 (p – 9) ( p – 12) = p2 + (-9+(–12))p +(-9)(-12) = p2– 21p+108

4) PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA (ax+b)(cx+d): (ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad+bc)x + b.d Ejemplo: (3x +5) ( 2x -4) =(3)(2)x2+(3*-4 +5*2)x + 5* (-4) =6x2 -2x -20 (2x - 3) ( 3x -5) =(2)(3)x2+(2*(-5) +(-3)*(3))x + (-3)* (-5) =6x2 -19x +15

5) CUBO DE UN BINOMIO (a+b)3 = a3 + 3a2b +3ab2 +b3 (a- b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 -b3 Ejemplos: (4n +3)3 = (4n)3 +3(4n)2(3)+3(4n)(3)2+(3)3 = 64n3 + 144n2+108n2+27 (1 – a2)3 = (1)3- 3(1)2(a)2+3(1)(a2)2- (a2)3 = 1 – 3a2 +3a4 –a6

6. BINOMIO POR TRINOMIO (a+b) (a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 (a- b) (a2 + ab + b2 ) = a3 - b3 Ejemplos: (x + 3) ( x2 – 3x + 9 ) = x3 + (3)3 =x3 + 27 (1 – a2) ( 1 +a2 + a4) = (1)3 – (a2)3 =1 - a6

Factorización Es el proceso de encontrar dos o más expresiones algebraicas cuyo producto sea igual a la expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores.

CASOS MÁS USUALES 1) Factor común: (ax +ay) = a(x + y) x(a +b ) + m (a + b) = (a +b ) (x + m) 2) Diferencia de Cuadrados: (a-b)(a+b) = a2 – b2 3) Trinomio de la forma x2+bx+c: x2 + bx +c = x2 + (b + d)x+ b.d

CASOS MÁS USUALES 4) Trinomio de la forma ax2 + bx + c acx2 + (ad+bc)x + b.d = (ax + b)(cx + d)   5) Trinomio Cuadrado Perfecto: a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2 a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

EJEMPLOS

EJEMPLOS

EJEMPLOS 7) 8) 9)

EJEMPLOS 10) 9x2 - 6x + 1 = (3x - 1)2 11) - 4a6 – 9b4 + 12a3b2 = - 4a6 + 12a3b2 – 9b4 = - (4a6 – 12a3b2 + 9b4) = - (2a3 - 3b2)2 (a + b)2 - 20(a + b)c2 + 100c4 = ((a + b) – 10c2)2

EJEMPLO

RESUMEN De derecha a izquierda actúan como productos especiales o notables y de izquierda a derecha como métodos de factorización 1. a (x + y) = ax + ay 2. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 3. (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 4. (x + y) (x – y) = x2 – y2 5. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab 6. (ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc) x + bd 7. (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3x y2 + y3 8. (x – y)3 = x3 – 3x2 y + 3xy2 – y3 9. (x + y) (x2 – xy + y2) = x3 + y3 10. (x – y) (x2 + xy + y2) = x3 - y3