Ejercicios sobre distancia de un punto a una recta y Ejercicios sobre distancia de un punto a una recta P d(P;a) d(P;b) x b a
La distancia de un punto P1(x1;y1) a la recta r de ecuación Ax + By + C = 0 se denota d(P1;r) y es A2 + B2
Si dos rectas a y b de pendientes ma y mb respectivamente se cortan formando un ángulo (00< <900) entonces ma – mb tan = 1 + mamb
Ejercicio 1 Las rectas r: x – 5y + 25 = 0 y s: 5x – y – 19 = 0 se cortan en el punto (5;6): a) halla la ecuación de la bisectriz del ángulo formado al cortarse r y s, b) calcula la amplitud del ángulo de intersección.
1 + 25 25 + 1 y r: x–5y+25 = 0 b s: 5x–y–19 = 0 r 6 s: 5x–y–19 = 0 r P Sea P(x;y) un punto de la bisectriz x 5 s d(P;r) = d(P;s) xP – 5yP + 25 1 + 25 5xP – yP – 19 25 + 1 =
Recuerda: |a|= a ; a 0 ó |a|= – a; a<0 xP – 5yP + 25 = –(5xP – yP – 19) xP – 5yP + 25 = 5xP – yP – 19 xP – 5yP + 25 = 5xP – yP – 19
x – 5y + 25 = –(5x – y – 19) x – 5y + 25 = –5x + y + 19 :6 x – y + 1 = 0 x – 5y + 25 = 5x – y – 19 4x + 4y – 44 = 0 :4 x + y – 11 = 0
b) r: x–5y+25 = 0 mr= A B s: 5x–y–19 = 0 = – 1 –5 ms= A B = – 5 –1 = 5 = 1 5 1 5 5 – tan = ms – mr 1 + msmr = = 2,4 1 + 1 luego = 67,40
Ejercicio 2 Halla la distancia entre las rectas 4x – 3y + 21 = 0 y 8x – 6y + 21 = 0
a: 4x – 3y + 21 = 0 ; b: 8x – 6y + 21 = 0 1 1 21 4 8 1 2 = –3 –6 1 2 = = 1 2 2 Las rectas a y b son paralelas porque el cociente de los coeficientes de las x de ambas ecuaciones es igual al cociente de los coeficientes de y, y desigual al de los términos independiente.
Cálculo de un punto P de la recta a a: 4x – 3y + 21 = 0 ; b: 8x – 6y + 21 = 0 Cálculo de un punto P de la recta a para x = 0 –3y + 21 = 0 21 –3 y = P(0;7) y = 7
a: 4x – 3y + 21 = 0 ; b: 8x – 6y + 21 = 0 P(0;7) d(P;b) = 8xP –6yP +21 A2 + B2 –6·7+21 82 + (–6)2 = –42+21 64+ 36 = –21 100 = 21 10 = = 2,1 u