La recta y la función lineal Prof. M. Alonso Pendiente Intercepto f(x) = mx + b

OBJETIVOS Definir la pendiente de una recta Calcular la pendiente Definir los interceptos en los ejes Trazar rectas horizontales y verticales Trazar rectas de la forma y = mx + b Definir una función lineal Identificar las propiedades de la función lineal Trazar la gráfica de la función lineal Emplear la función lineal en problemas verbales

¿Qué es una recta? Nuestra idea intuitiva de una recta es una figura como las siguientes:

Las rectas son un conjunto de puntos que se extienden infinitamente. Observe que las rectas pueden ser: Horizontales Verticales Crecientes Decrecientes

¿Qué ocurre si colocamos las rectas en un plano cartesiano ¿Qué ocurre si colocamos las rectas en un plano cartesiano? Note que los puntos de la recta se representan por pares ordenados. Se infiere que existe una relación entre la variable x y la variable y. y x

Inclinación de una recta Una de las características de la recta es su inclinación con respecto a una línea horizontal imaginaria. Bastante inclinada No se define la inclinación Poca inclinación Ninguna inclinación

Pendiente de una recta Necesitamos una medida de cuan inclinada está la recta . La pendiente de una recta es una medida de la inclinación de la recta. Se utiliza la letra m para denominar la pendiente.

Fórmula para calcular la pendiente de una recta. Si y son dos pares ordenados definimos la pendiente como:

EJEMPLO Halle la pendiente de la recta que pasa por (2,-5) y ( 3, 7). Seleccione un par ordenado como (x1,y1) y el otro como (x2, y2). Digamos que (2, -5) y (3,7)

Observaciones respecto a la pendiente de una recta La pendiente es un número que puede ser un número positivo, negativo o cero. La pendiente de una recta creciente es positiva. La pendiente de una recta horizontal es m = 0. La pendiente de una recta decreciente es negativa. La pendiente de una recta vertical no está definida.

Forma de definir la pendiente en las ciencias La pendiente es una razón de cambio. El cambio es una diferencia y razón quiere decir una división. Es decir, cuanto cambio se produce en la y a medida que se hace un cambio en la x. Recuerde que una razón es una fracción. Razón de cambio

Modo de interpretar la pendiente en las ciencias

De la gráfica anterior se infiere que la pendiente es: Elevación Desplazamiento Elevación Desplazamiento

De lo anterior se desprende que la pendiente de la siguiente recta es: Elevación de 4 unidades Desplazamiento de 6 unidades

Los físicos y químicos se refieren a la pendiente como Delta y sobre delta x El cociente significa un cambio en y con respecto a un cambio en x ¿Qué es un cambio? Es precisamente una diferencia. El cambio de 1 a 4 es de tres unidades.

Resumiendo: La pendiente de una recta es un número. Se define como el cociente(división) de la diferencia de las ordenadas entre la diferencia de las abscisas. Recuerde que no se define la pendiente de una recta vertical. Por qué?

Halle la pendiente de cada recta.

Ecuación de una recta Hemos estudiado la pendiente de una recta. Este concepto nos servirá para hallar la ecuación de una recta; con esto nos referimos a la forma algebraica con la que identificamos una recta o su nombre matemático. En español:recta En matemáticas: En inglés: line y = mx + b

Las rectas horizontales Mencione algunos pares ordenados de la recta.¿Qué observa en los pares ordenados? ¿Qué observa en la segunda coordenada de cada par ordenado? ¿Puede concluir que la variable y siempre se queda fija? Discuta.

Rectas horizontales La ecuación de esa recta es y = 2. De hecho, la ecuación de cualquier recta horizontal es y = k donde k es una constante, es decir, un número.

Ejemplos

Rectas verticales Mencione algunos pares ordenados por donde pasa la recta.  ¿Qué observa en los pares ordenados? ¿Qué observa en la primera coordenada de cada par ordenado? ¿Puede concluir que la variable x siempre se queda fija? Discuta.

Rectas verticales La ecuación de la recta es x = -2. De hecho, la ecuación de cualquier ecuación vertical es x = k, donde k es una constante.

Ejemplos

Interceptos El punto donde la gráfica corta el eje de y se llama el intercepto en y. De igual forma el punto donde la gráfica corta el eje de x se denomina el intercepto en x.

Observaciones: El intercepto en x es un par ordenado donde la y siempre es 0. ¿Por qué? El intercepto en y es un par ordenado donde la x siempre es 0. ¿Por qué?

Rectas crecientes y decrecientes Queremos hallar la ecuación de una recta que no sea ni horizontal, ni vertical. Si conocemos la pendiente de la recta y su intercepto con el eje de y es (0,b) entonces la ecuación de la recta es:   Es decir, podemos hallar la ecuación de una recta si sabemos su pendiente y el punto por donde cruza el eje vertical llamado intercepto en y.

Ejemplos de ecuaciones de rectas Y = -2x + 6 m = -2, b = 6 Y = 3x m = 3, b = 0 Y = ½x – 6 m = ½, b = -6 Y = -7x – 3 m = -7, b = -3 Y = x m = 1, b = 0 Y = x – 1 m = 1, b = -1

Variable independiente Observaciones En la ecuación y = mx + b vemos cuatro letras, dos de ellas representan variables y las otras dos representan parámetros, o sea valores que nos dan. y = mx + b Parámetros Variable dependiente Variable independiente

Resumiendo Toda recta creciente o decreciente se representa algebraicamente con la ecuación y = mx + b. Asimismo, cada vez que veamos la ecuación y = mx + b, la identificamos con una recta creciente o decreciente. Recuerde que intuitivamente decimos que una recta creciente tiene la forma y una decreciente es

Ejemplo Halle la ecuación de la recta que aparece en el dibujo. Solución: El intercepto con el eje vertical es (0,2) y la pendiente es –2, por lo tanto, la ecuación es: y = -2x + 2

Ejemplo Halle la ecuación de una recta que pasa por (1, 3) y ( 4, 8). Solución: Necesitamos la pendiente y el intercepto en el eje de y. La pendiente la obtenemos usando la fórmula de pendiente: Necesitamos hallar el intercepto en y. Para ello vamos a utilizar la ecuación de la recta y despejamos para b. y = mx + b

Continuación del ejemplo Como sabemos que pasa por ( 1, 3) esto implica que x = 1 , y = 3. Si sustituimos estos valores en la ecuación y = mx + b obtenemos: Por lo tanto, la ecuación de la recta es

Ejemplo Halle la ecuación de la recta que pasa por (-3,5) y cuya pendiente es . Solución: Como la pendiente está dada, sólo nos falta hallar la b. Usaremos la ecuación y despejaremos para b. y = mx + b Respuesta

Definición Una relación se llama lineal si tiene la forma y = mx + b, donde m y b son números reales pero m 0 Observe que trazar la gráfica de una relación lineal es equivalente a trazar la gráfica de la ecuación y = mx + b. Note que no existe restricción para los valores que asume la variable x, por lo tanto, el dominio de la relación lineal son los números reales. La relación lineal también se llama función lineal y se escribe f(x) = mx + b

Observaciones La relación lineal se denomina con ese nombre porque su gráfica es una recta creciente o decreciente. La característica fundamental de una relación lineal es que su razón de cambio es constante. Nos referimos con esto a que es siempre un número fijo el cual no cambia, o sea, su pendiente es constante.

¿Qué es una razón de cambio constante? Suponga que Victoria se pesa todas las semanas y ha notado que durante los últimos dos meses ha aumentado 3 libras semanales. Esta situación es una relación. La variable independiente es el tiempo (medido en semanas) y la variable dependiente es el peso (medido en libras). Observe que por cada semana que transcurre se produce un cambio de tres libras. Matemáticamente se expresa: Peso Tiempo

Observaciones No siempre la razón de cambio es constante. Si Victoria aumenta una semana 1 libra, la otra semana 4 libras, la otra 2 libras, etc. no podemos establecer que por cada semana que transcurre el aumento de peso es un número fijo. Cuando esto sucede NO es una relación lineal.

Rectas paralelas Las rectas paralelas tienen la misma pendiente pues tienen la misma inclinación

Rectas paralelas Por consiguiente, si nos dan la ecuación de dos rectas lo único que tenemos que fijarnos es en la pendiente para determinar si ambas rectas son paralelas

Ejemplos y = 2x + 1 y = 2x – 9 son paralelas pues ambas tienen pendiente m = 2 y = 8x y = 8x + 5 son paralelas pues en ambas m = 8 6x + 2y = 4, y = -3x – 1 son paralelas ¿Por qué?

Ejemplo y = 3x + 4 y = -2x + 5 no son paralelas pues en una m = 3 y en la otra m = -2

Rectas perpendiculares Las rectas perpendiculares son aquellas que forman un ángulo de 90.

Rectas perpendiculares En este caso la pendiente de una es el recíproco negativo de la otra. O sea, si m1 es la pendiente de una recta y m2 es la pendiente de la otra entonces se tiene que cumplir que :

Ejemplo y = 3x + 4 son perpendiculares porque la pendiente de la primera es m1 = 3 y la pendiente de la segunda es

Ejemplo Estas ecuaciones son perpendiculares

Inecuaciones lineales Las inecuaciones lineales son expresiones que tienen el signo de desigualdad y sus variables están a la primer potencia, como por ejemplo: 3x + y > 3 2x – y < 4 5x + 2y  0 y  3x – 1

Inecuaciones lineales El objetivo es trazar su gráfica y hallar el conjunto solución de estas inecuaciones

Inecuaciones lineales Trace la gráfica de y – 3x  1 Solución: Lo primero es trazar la gráfica de la recta y – 3x = 1, observe que esta es la ecuación de una RECTA.

Inecuaciones lineales y-3x ≥1 Inecuaciones lineales Solución:Recuerde que para trazar la recta y – 3x = 1 se debe escribir en el formato y = mx + b es decir, y = 3x + 1. Como el uno representa el intercepto en y localizamos este punto y después usamos la pendiente m = 3 para trazar la recta.

Inecuaciones lineales La recta dibujada divide al plano en dos: la parte izquierda de la recta y la parte derecha de la recta. Queremos saber cuales pares ordenados satisfacen la inecuación. Para ello, seleccione un par ordenado en cualquiera de estas partes. Por ejemplo seleccione el par (-2,-2). Sustituya este par en la INECUACIÓN. Parte derecha Parte izquierda

Inecuaciones lineales Sustitución: y – 3x  1 -2 - 3(-2)  1 -2 + 6  1 4  1 cierto Como esta desigualdad es cierta y el par que seleccionamos estaba a la izquierda de la recta tenemos que sombrear todo lo que está a la izquierda de la recta

Inecuación y -3x ≥ 1

Problemas verbales Hay muchas situaciones de la vida diaria que se pueden modelar con las funciones lineales. Si sabemos que la relación entre dos variables es lineal podemos establecer su ecuación. Esta ecuación lineal nos servirá para hacer predicciones.

Ejemplo de una situación Miguel va de vacaciones a Venezuela. Por la mañana lo primero que hace es ir al Banco Venezolano de Crédito a cambiar $15.00. Le dan de vuelta 23,940 bolívares. Por la tarde, regresa al mismo banco para cambiar $42.00 y en esta ocasión le dan 67,032 bolívares. Miguel desea conocer a cuánto está el cambio y hallar una fórmula para calcular la cantidad de bolívares que recibirá si cambia $100 dólares. ¿Podemos ayudar a Miguel a contestar las dos preguntas?

Solución La situación planteada es lineal pues por cada dólar tienen que dar la misma cantidad de bolívares. La variable independiente son los dólares y la variable dependiente son los bolívares porque lo que deseamos averiguar es cuantos bolívares me dan si doy cierta cantidad de dólares. Sea D la cantidad de dólares(esta variable corresponde a la x que hemos estado usando) y B la cantidad de bolívares (corresponde a la variable y)

Solución Construimos una tabla de valores: D B 15 23,940 42 67,032

Solución Hallamos la pendiente o razón de cambio: Buscamos el intercepto:

Solución La función lineal es: B = 1596D Ahora estamos en disposición de contestar las dos preguntas. ¿A cuánto está el cambio? Como la razón de cambio es de 1596 esto implica que por cada dólar obtenemos 1596 bolívares. ¿Cuánto recibirá por $100.? B = 1596(100) = 159,600 bolívares

Considere la siguiente tabla x y 1 2 4 3 6 8 5 10 Observe que el dominio es el conjunto {0,1,2,3,4,5} ¿Cómo trazamos la gráfica de esa función?

La Gráfica de la tabla anterior es: Observe que los puntos son colineales. Estos NO se unen porque el dominio sólo consiste de 6 números enteros.

Si observamos bien la tabla vemos que los números que están en la segunda columna son el doble de los números que están en la primera columna. Por lo tanto , una fórmula o ecuación para describir este comportamiento es y = 2x. Podemos decir que la variable dependiente es el doble de la variable independiente. X Y 1 2 4 3 6 8 5 10

Fin Repasa bien todos los conceptos antes de llevar a cabo los ejercicios de práctica del libro de texto.