CÁLCULO INTEGRAL La integral definida Gustavo Rocha 2005-2

Polígonos regulares inscritos 7 lados 11 lados 15 lados

Polígonos inscritos r a<r l

Características de un polígono inscrito a una circunferencia de radio dado lim l = 0 lim a = r lim P = 2p r lim A = p r2 si n®∞

El método del agotamiento

Polígonos circunscritos a=r l

Características de un polígono circunscrito a una circunferencia de radio dado lim l = 0 lim a = r lim P = 2p r lim A = p r2 si n®∞

El método del agotamiento

El problema del área ¿Cuál es el área del Distrito Federal, a partir de la figura geométrica irregular de su contorno y de que cabe justo en un rectángulo de 60 km x 40 km?

¿Qué representa el área bajo una curva? En aplicaciones geométricas: Áreas Longitudes de curvas Volúmenes de cuerpos. En la realidad cotidiana: El área bajo la curva de velocidad representa la distancia recorrida. El área bajo la curva de aceleración representa la velocidad alcanzada. El área bajo la curva de gasto volumétrico representa el volumen acumulado. El área bajo la curva de …

El problema del área R x = a x = b x f Hallar el área de la región R, que está bajo la curva y = f(x), desde a hasta b. La región R está limitada por cuatro líneas: la función continua f, (con f(x)  0), el eje x la recta vertical x = a la recta vertical x = b

La integral como límite Para determinar la tangente en un punto, primero obtuvimos aproximaciones de la pendiente de la recta tangente, por las pendientes de las rectas secantes y, a continuación tomamos el límite de esas aproximaciones. Para determinar el área bajo una curva en un intervalo, primero obtendremos aproximaciones de la forma que tiene la región, por la suma de rectángulos que la cubren y, a continuación tomamos el límite de esas aproximaciones.

La integral como límite La integral definida formaliza el concepto de área. El concepto intuitivo es sencillo La definición formal es esencialmente complicada. El área A de la región R se define como el límite de las sumas de las áreas de los rectángulos de aproximación. A = lim Ln , cuando n A = lim Un , cuando n

La integral como límite Si dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos cerrados del mismo tamaño x: a = x0 < x1 < x2 < … < xi-1 < xi < xn-1 < xn = b ; la partición P = {x0, x1, x2, … , xi-1, xi, xn-1, xn} subdivide la región R en n franjas R1, R2, … , Ri, … , Rn , todas de ancho x = (b - a)/n, y los puntos extremos de cada intervalo son: xi = a + i·x x = a x = b x f R1 R2 R3 Ri-1 Ri Rn … x0 x1 x2 x3 xi-1 xi xn-1 xn

f(x) f(x) Sumas por la izquierda Sumas por la derecha      x      x            f(x)                 f(x) x f(xi-1) f(xi) f(xi-1) = valor de la función en extremo izquierdo del subintervalo f(xi) = valor de la función en extremo derecho del subintervalo A = lim In = lim  f(xi-1)x n n A = lim Dn = lim  f(xi)x n n

Sumas por el punto medio                 f(x) x f(i) f(xi-1) = valor de la función en el punto medio del subintervalo A = lim Mn = lim  f(i)x n n

f(x) f(x) Sumas inferiores Sumas superiores                      f(x) x                 f(x) x f(mi) f(Mi) f(mi) = valor mínimo de la función en el subintervalo f(Mi) = valor máximo de la función en el subintervalo A = lim Ln = lim  f(mi)x n n A = lim Un = lim  f(Mi)x n n

0.218750 0.273438 0.468750 0.398438 0.317871 0.349121 0.302734 0.349121 0.325562 0.341187 1/3 = 0.333333

n Ln Area real Un 4 0.21875 0.3333333 0.46875 8 0.2734375 0.3984375 16 0.30273438 0.36523438 32 0.31787109 0.34912109 64 0.32556152 0.34118652 1000 0.3328335 0.3338335 ¥

Sumas por la izquierda In es la suma de los n rectángulos cuya altura está dada por el valor de la función en el extremo izquierdo de cada subintervalo. El ancho de los rectángulos es x = 1/n Las alturas de los rectángulos son f(x) = [(i-1)/n]2, con i = 1, n In = (1/n)(1/n)2 + (1/n)(2/n)2 + … + (1/n)[(n-1)/n]2 = (1/n3)[12 + 22 + 32 + … (n-1)2 ] = (1/n3)[(n-1)n(2n-1)]/6 = (n-1)(2n-1)/6n2 Si n, lim In = lim (n-1)(2n-1)/6n2 = lim (1/6)[(n-1)/n][(2n-1)/n] = (1/6)(1 - 1/n)(2 – 1/n) = (1/6)(1)(2) = 1/3

Sumas por la derecha Dn es la suma de los n rectángulos cuya altura está dada por el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo. El ancho de los rectángulos es x = 1/n Las alturas de los rectángulos son f(x) = (i/n)2, con i = 1, n Dn = (1/n)(1/n)2 + (1/n)(2/n)2 + … + (1/n)(n/n)2 = (1/n3)(12 + 22 + 32 + … + n2) = (1/n3)[n(n+1)(2n+1)]/6 = (n+1)(2n+1)/6n2 Si n, lim Dn = lim (n+1)(2n+1)/6n2 = lim (1/6)[(n+1)/n][(2n+1)/n] = (1/6)(1 + 1/n)(2 + 1/n) = (1/6)(1)(2) = 1/3

Sumas inferiores Ln es la suma de los n rectángulos cuya altura está dada por el valor mínimo de la función en cada subintervalo. El ancho de los rectángulos es x = 1/n Las alturas de los rectángulos son f(x) = f(mi), con i = 1, n Ln = (1/n)(0)2 + (1/n)(1/n)2 + … + (1/n)[(n-1)/n]2 = (1/n3)[12 + 22 + 32 + … + (n-1)2] = (1/n3)[(n-1)n(2n-1)]/6 = (n-1)(2n-1)/6n2 Si n, lim Ln = lim (n-1)(2n-1)/6n2 = lim (1/6)[(n-1)/n][(2n-1)/n] = (1/6)(1 - 1/n)(2 - 1/n) = (1/6)(1)(2) = 1/3

Sumas superiores Dn es la suma de los n rectángulos cuya altura está dada por el valor máximo de la función cada subintervalo. El ancho de los rectángulos es x = 1/n Las alturas de los rectángulos son f(x) = (i/n)2, con i = 1, n Dn = (1/n)(1/n)2 + (1/n)(2/n)2 + … + (1/n)(n/n)2 = (1/n3)(12 + 22 + 32 + … + n2) = (1/n3)[n(n+1)(2n+1)]/6 = (n+1)(2n+1)/6n2 Si n, lim Dn = lim (n+1)(2n+1)/6n2 = lim (1/6)[(n+1)/n][(2n+1)/n] = (1/6)(1 + 1/n)(2 + 1/n) = (1/6)(1)(2) = 1/3

Un racional como serie infinita 1/3 = 0.3 = 0.3333 … = 0.3 + 0.03 + 0.003 + … = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + … = 3(1/10 + 1/100 + 1/1000 + …) = 3(1/101 + 1/102 + 1/103 + …) = 3(1/10n), n = 1,  = 3 lim (1/10n), cuando n   = 3(1/9) = 1/3

A = 9 Área bajo la curva f(X) = X2 en el intervalo [0, 3] Ordenada máxima Ordenada mínima n= 3 A = 14 n = 3 A = 5

Ordenada máxima Ordenada mínima n = 20 A = 9.69 n = 20 A = 8.34 n = 50

Área bajo la curva f(x) = x2, en el intervalo [0, 3] Número de intervalos A = Área con ordenada máxima A = Área con ordenada mínima Diferencia de aproximaciones 3 14.0000 5.0000 9.0000 4 12.6563 5.9063 6.7500 5 11.8800 6.4800 5.4000 6 11.3750 6.8750 4.5000 8 10.7578 7.3828 3.3750 10 10.3950 7.6950 2.7000 20 9.6863 8.3363 1.3500 30 9.4550 8.5550 0.9000 40 9.3403 8.6653 0.6750 50 9.2718 8.7318 0.5400 75 9.1808 8.8208 0.3600 100 9.1355 8.8655 0.2700 200 9.0676 8.9326 0.1350 ¥ 0.0000 Si n  , A  9 A  9 dif.  0

Método de Aproximación Rectangular de ordenada mínima n = 8 4 = 100/3 = 33.33 A = 29.5 Método de Aproximación Rectangular de ordenada máxima n = 8 Método de Aproximación Rectangular con puntos medios n = 8 A = 37.5 A = 33.25

Método de Aproximación Rectangular de ordenada máxima n = 32 de ordenada mínima n = 64 A = 34.38 A = 32.84 Método de Aproximación con trapecios n = 4 Método de Aproximación Simpson, con segmentos parabólicos n = 4 A = 30.00 A = 30.00

Minutos de luz solar al día en una ciudad en 20 latitud norte Fecha T (días) Real Ajustada Dic-21 655 Ene-01 11 657 656 Feb-01 42 676 673 Mar-01 70 705 702 Abr-01 101 740 May-01 131 772 774 Jun-01 162 796 797 Jun-21 182 801 Jul-01 192 799 800 Ago-01 223 782 784 Sep-01 254 752 Oct-01 284 718 715 Nov-01 315 685 680 Dic-01 345 661 659 365

Junio 21 Marzo 21 Septiembre 22 Diciembre 21

Old Faithful Geyser

L L

DE LA CASA A LA PLAYA 120 100, 104 100 80 distancia (km) 60 40 40, 32 60, 32 20 0, 0 20 40 60 80 100 120 tiempo (min)

Tirante de agua en función del tiempo h = f(t) 20 cm h 12 cm

El tirante de agua es función del tiempo ¿Cómo se comporta el tirante de agua en cada una de las 8 vasijas que tienen 5 litros de capacidad? El tirante de agua es función del tiempo

La forma de un embalse es mucho más compleja

“ ... Tú lo aprenderás, pero no de mí sino del río. Él fue mi maestro, y será el tuyo. Todo lo sabe el río, todo lo puede enseñar, todo.” Siddhartha, Hermann Hesse

“... El río está simultáneamente por doquier: en su fuente y en su desembocadura, en la catarata, en el arroyo y en el rápido, en el mar y en la montaña; en todas partes al mismo tiempo y no hay en él la menor partícula de pasado o la más breve idea de tiempo venidero, sino solamente el presente” Siddhartha, Hermann Hesse

“ No es que no nos atrevamos porque las cosas son difíciles; es que las cosas son difíciles porque no nos atrevemos.” Séneca “De la brevedad de la vida”

“ El peligro más grande en la vida es no arriesgar nada; la persona que no arriesga, no hace nada, no tiene nada, es nada.” Séneca “De la brevedad de la vida”

¿Distingues simetría?

PRIMERA LEY de KEPLER “Los planetas se mueven en órbitas elípticas, con el Sol en uno de sus focos”. SEGUNDA LEY de KEPLER “El radio vector que une el planeta al Sol , recorre áreas iguales en tiempos iguales”.

“Los cuadrados de los períodos de los Planetas alrededor del Sol, TERCERA LEY de KEPLER “Los cuadrados de los períodos de los Planetas alrededor del Sol, son proporcionales a los cubos de sus distancias medias al astro”