DISCUSIÓN Y RESOLUCIÓN DE SISTEMAS U.D. 3 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

PARÁMETROS U.D. 3.1 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

CLAVE del Método de Gauss El método de Gauss se simplifica mucho si hacemos que el primer coeficiente de la primera ecuación valga la unidad ( a = 1). Sea: a.x + b.y + c.z = d a´.x + b’.y + c’.z = d’ a”.x + b”.y + c”.z = d” Divido toda la primera fila (ecuación) entre a. Y me queda: x + b.y/a + c.z/a = d/a Resto a la 3º fila la 1º fila multiplicada por a” Resto a la 2º fila la 1º fila multiplicada por a’ Resto a la 3º fila la 2º fila multiplicada por e’/e Y ya tengo el sistema escalonado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

ANÁLISIS DE RESULTADOS Al aplicar el método de Gauss obtengo: a.x + b.y + c.z = d + e.y + f.z = g h.z = j Si h<>0 y hay tantas ecuaciones como incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE Y DETERMINADO (Una solución). Si h<>0 y hay menos ecuaciones válidas que incógnitas: SISTEMA COMPATIBLE E INDETERMINADO (Infinitas soluciones). Si h = 0 y j <> 0 : SISTEMA INCOMPATIBLE (No hay ninguna solución). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

PARÁMETROS EN UNA ECUACIÓN Un parámetro en una ecuación es una constante de valor desconocido, no una incógnita. Puede aparecer como coeficiente de la incógnita o incógnitas o como parte del término independiente. El valor de la/s incógnita/s dependerá del parámetro o parámetros, por lo que quedará indeterminado. Ejemplo 1 a.x + 4 = 5  a.x = 1  x = 1/a Ejemplo 2 x + a = 5.b  x = 5.b – a Ejemplo 3 x + a.y = 5  y = (5 – x) / a a.x + y = 3.b  y = 3.b – a.x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

EJEMPLOS DE PARÁMETROS ECUACIÓN LINEAL y = m·x + n La pendiente, m, y la ordenada en el origen, n, son parámetros. ECUACIÓN CUADRÁTICA a·x2 + b·x + c = 0 Los coeficientes, a, b y c, cuando son desconocidos, son los parámetros. ECUACIÓN RACIONAL k y = b + -------- x – a Tanto a como b o como k, cuando son desconocidos, son los parámetros. CIRCUNFERENCIA (x – a)2 + (y – b)2 = r2 , pudiendo ser a, b o r los parámetros. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

PARÁMETROS EN UN SISTEMA Un parámetro en un sistema es una constante de valor desconocido, no una incógnita. Puede aparecer en una o en varias de las ecuaciones del sistema. Igualmente puede haber varios parámetros diferentes. El sistema se resolvería por los métodos estudiados, salvo que al final el tipo de sistema estaría determinado por el posible valor que tomase el parámetro o parámetros. Ejemplo 0 x + y = 2 a·y = – 1 h = a ; j = – 1  Discusión j<>0 Si a = 0  Sistema incompatible, pues y = –1/0 = oo. Si a <> 0  Sistema compatible y determinado (y = –1/a ; x = 2 + 1/a). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON PARÁMETROS Ejemplo 1 x + y = 2 2x – ay = – 1 Lo escalonamos por el Método de Gauss: F2=F2 – 2.F1 x + y = 2 (– a – 2).y = – 1 – 4 h = – a – 2 ; j = – 5  Discusión j<>0 Si – a – 2 = 0  a = – 2  Sistema incompatible. Si a <> – 2  Sistema compatible y determinado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Lo escalonamos por el Método de Gauss: F2=F2 – 3.F1 x – 3.y = 2 Ejemplo 2 x – 3y = 2 3x + ay = 6 Lo escalonamos por el Método de Gauss: F2=F2 – 3.F1 x – 3.y = 2 (a + 9).y = 0  h = a + 9 ; j = 0  Discusión j=0  El sistema no puede ser incompatible Si a + 9 = 0  a = – 9  Las dos ecuaciones son equivalentes   Sistema compatible e indeterminado: y = y ,, x = 2 + 3.y Si a + 9 <> 0  a <> – 9  Sistema compatible y determinado: y= 0 / (a+9) = 0 ,, x = 2 + 3.y = 2 + 0 = 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

(a + 2).y = 4 – 2. b  h = a + 9 ; j = 4 – 2.b  Discusión Ejemplo 3 x – y = b 2x + ay = 4 F2=F2 – 2.F1 x – y = b (a + 2).y = 4 – 2. b  h = a + 9 ; j = 4 – 2.b  Discusión El tipo de sistema dependerá del valor de dos parámetros, a y b. Si b= 2  j=0  El sistema no puede ser incompatible Si b= 2 y a = – 2  Sistema compatible e indeterminado: y = y ,, x = 2 + y Si b= 2 y a <> – 2  Sistema compatible y determinado: y = 0 ,, x = 2 + y = 2 + 0 = 2 Si b <>2 y a = – 2  Sistema incompatible, pues h=0 y j <>0. Si b <>2 y a <> – 2  Sistema compatible y determinado: y = (4 – 2b) / (a+2) ,, x = b + [(4 – 2b) / (a+2)] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Y obtengo finalmente: x + y - z = 1 + (a – 2).z = 2 – a EJEMPLO 4 x + y - z = 1 2x - y + z = a x - 2y + az =1 F3 = F3 – F1 y F2 = F2 – 2.F1 Queda: x + y - z = 1 - 3y + 3.z = a – 2 - 3y + (a+1).z = 0 F3 = F3 – F2 Y obtengo finalmente: x + y - z = 1 + (a – 2).z = 2 – a Discusión: h=a – 2 ; j = - h = 2 – a El sistema nunca será incompatible, pues h=0 y j<>0 nunca se podrán dar a la vez. Caso 1: Si a = 2  h=0 ,, j= 0  Compatible e indeterminado: y = (a – 2 – 3z) / (-3)  x = 1 + z – [ y ] Caso 2: Si a <> 0  Compatible y determinado: z = – 1  y = (a – 2 + 3) / (-3) = (– 1 – a) / 3  x = 2 – (– 1 – a) / 3 x = (7 + a) / 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

F2 = F2 – (1 – 3.a). F3 y permuto las F2 con F3 EJEMPLO 5 x + 3y + z = 0 ax + y - z = 0 3x+10y +4z =0 F3 = F3 – 3F1 y F2 = F2 – a.F1 Queda: x + 3y + z = 0 (1 – 3.a)y – (1+a).z = 0 y + z = 0 F2 = F2 – (1 – 3.a). F3 y permuto las F2 con F3 Y obtengo finalmente: x + 3y + z = 0 y + z = 0 (2.a – 2).z = 0 Discusión: j = 0  El sistema nunca será incompatible. Caso 1: Solución trivial sistemas homogéneos: x=y=z=0 Caso 2: Si a = 1  h=0 ,, j= 0  Compatible e indeterminado: y = – z  x = – z – 3y = 2.z Caso 3: Si a <> 1  Compatible y determinado: z = 0  y = – z = 0  x = – z – 3y = 0  Solución trivial Caso 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Y obtengo finalmente: x + 4y + z = b + (a – 1).z = b – 3 EJEMPLO 6 x + 4y + z = b 3x - y + 2z = 1 2x - 5y + az =-2 F3 = F3 – 2.F1 y F2 = F2 – 3.F1 Queda: x + 4y + z = b - 13y – z = 1 – 3b - 13y + (a – 2).z = – 2 – 2b F3 = F3 – F2 Y obtengo finalmente: x + 4y + z = b + (a – 1).z = b – 3 Discusión: h=a – 1 ; j = b – 3 Caso 1: Si a = 1 y b <> 3  Sistema incompatible. Caso 2: Si a <> 1 y b = 3  Compatible y determinado: z = 0  y = (3b – 1) / 13 = 8/13  x = b – z – 4y = 3 – 32/13 = 7/ 13 Caso 3: Si a = 1 y b = 3  Compatible e indeterminado: y = (3b – 1 – z) / 13  x = b – z – 4y = b – z – 4. (3b – 1 – z) / 13 Caso 4: Si a = <> 1 y b <> 3  Compatible y determinado: z=(b – 3)/(a – 1)  y = {3b – 1 – [(b – 3)/(a – 1)] } / 13  x = b – z – 4y @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.