Apuntes de Matemáticas 3º ESO CUERPOS GEOMÉTRICOS U.D. 9 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO GEOMETRÍA ESFÉRICA U.D. 9.12 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Área y Volumen de la esfera Experimento 1 Recubrimos una semiesfera con una cuerda. Experimento 2 Enrollamos la cuerda sobre el círculo de la base. Observamos que hemos necesitado doble cuerda para recubrir la semiesfera que para cubrir el círculo. El área de la semiesfera es doble que el área del círculo. Luego el área de una esfera es CUATRO veces el área del círculo máximo. A = 4.л.r2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Área y Volumen de la esfera Experimento 3 Encajamos una esfera en un cilindro tal que su altura es igual al diámetro de las bases. El cilindro estaba hueco y lleno de agua. Al meter la esfera, el agua desalojada son los 2/3 del agua que había. Concluimos que el volumen de la esfera es 2/3 del volumen del cilindro. Como el volumen de ese cilindro es: V= л.r2.h = л.r2 2.r = 2.л.r3 El volumen de la esfera debe ser: V = 2/3. 2.л.r3 = 4/3.л.r3 V = 4/3.л.r3 r r 2r r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos Ejemplo 1 Hallar el área y el volumen de una esfera de 10 cm de radio. A=4.л.r2 = 4.л.102 = 400.л cm2 V = 4/3.л.r3 = 4/3.л.103 =4000.л/3 cm3 Ejemplo 2 Hallar el área y el volumen de una esfera de 10 cm de diámetro. A=4.л.(d/2)2 = 4.л.52 = 100.л cm2 V = 4/3.л.(d/2)3 = 4/3.л.53 =500.л/3 cm3 d r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplos Ejemplo 3 Hallar el radio y el volumen de una esfera que tiene un área de 314,16 cm2 A=4.л.r2  314,16 = 4.л.r2  314,16 / 4.3,1416 = r2 25 = r2  r = 5 cm , pues r = - 5 no vale. V = 4/3.л.r3 = 4/3.л.53 =500.л/3 cm3 Ejemplo 4 Hallar el radio y el área de una esfera que tiene un volumen de 33,5104 cm3 . V = 4/3.л.r3  33,5104 = 4,188800.r3  8 = r3  r = 3√8 = 2 A=4.л.r2 = 4.л.22 = 16.л cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Semiesfera Semiesfera Si cortamos a una esfera por un plano que pasa por el centro de la esfera, la esfera quedará dividida en dos semiesferas. r Volumen de la semiesfera V = (4/3 π .R3 ) / 2 V = 2/3 π .R3 Área de la semiesfera A = 4 .π .R2 / 2 A = 2. π .R2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Huso esférico Huso esférico Es cada una de las partes de la superficie esférica (en color rojo en la figura) limitada por dos meridianos. Volumen del huso esférico Depende de la separación o ángulo formado por los dos meridianos que lo forman. V = Vesfera . n / 360 V = 4/3 π .R3 .n / 360 Área del huso esférico Se manera similar al volumen: A = Aesfera . n / 360 V = 4 π .R2 .n / 360 r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Casquete esférico Casquete esférico Cada una de las dos partes de la superficie esférica en que queda dividida la esfera si cortamos por un plano cualquiera. r Propiedad Sea r el radio del círculo del casquete esférico, h la altura del casquete, R el radio de la esfera y d la distancia del centro de la esfera al casquete. Por Pitágoras: R2 = r2 + d2 O también: R2 = r2 + (R – h)2 h R d @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo A una bola de billar de 7 cm de diámetro se la da un corte a 3 cm del centro. Hallar el radio del círculo menor que se obtiene. r 3 3,5 r Si el diámetro son 7 cm, el radio R de la esfera es 3,5 cm. El radio R de la esfera es hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma, donde un cateto son los 3 cm y el otro es el radio del círculo menor. Por Pitágoras: R2 = r2 + 32 3,52 = r2 + 32  r2 = 3,52 – 32 r2 = 3,25  r = 1,80 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Zona esférica Zona esférica La parte de la superficie esférica comprendida entre las circunferencias producidas por dos planos paralelos en la esfera. Volumen de la zona esferica Sea h la separación entre los dos planos que lo forman. Por el principio de Cavaliere: V = 2/3 π .R2.h Área de la zona esférica A = 2 .π .R .h Cuando h = 2.R, la zona es toda la superficie esférica. r h r R @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Composición Hallar el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. Datos: Diámetro base = 8 cm Altura total = 12 cm Dato: Diagonal cubo = 7 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Composición Hallar el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. Datos: Ancho = 8 cm Altura total = 12 cm Datos: Lado de la base = 8 cm ; Altura total = 24 cm ; Altura pirámide = 10 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Composición Hallar el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. Datos: Lado base = 10 cm Altura prisma = 12 cm Datos: Diámetro base = 6 cm Altura cilindro = 8 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO