Ecuación vectorial de la recta en el plano y su ecuación cartesiana LICEO VILLA MACUL ACADEMIA “Compromiso-Innovación-Excelencia” Ecuación vectorial de la recta en el plano y su ecuación cartesiana

APRENDIZAJE ESPERADO Identificar y describir rectas en plano, deducir la ecuación vectorial de la recta y su relación con la ecuación cartesiana.

definición

Las expresiones y también reciben el nombre de ecuación vectorial de la recta. es el vector director, paralelo a la recta, λ es un parámetro. Al remplazar valores de λ , obtenemos los puntos que pertenecen a la recta, es el vector posición de la recta (que no es un vector ponderado de ), se utiliza cuando la recta no pasa por el origen del plano cartesiano.        

Ejemplo 1: Dado el punto A(4, 7), determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el origen y el punto A. Se utiliza el vector como vector director , que corresponde al vector : De esta manera, se puede escribir la ecuación vectorial de la recta como: 〈x, y〉 = λ〈4, 7〉. O bien, como: 〈x, y〉 = 〈4λ, 7λ〉 con λ ∈ R.

Veamos ahora qué sucede si λ = 3 Veamos ahora qué sucede si λ = 3. Al remplazar en la ecuación: 〈x, y〉 = 〈4·λ,7·λ〉 = 〈4·3, 7·3〉 = 〈12, 21〉 Es decir, el punto (12, 21) pertenece a la recta 〈x, y〉 = λ〈4, 7〉.

Ejemplo 2: Dados los puntos A(2,3) y B(5,2), determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por ellos. ¿Qué sucede si λ=1/2 ? Utilizamos el vector como vector posición de la recta (también podríamos haber usado como vector posición). Luego, calculamos su vector director , que corresponde al vector : = – =〈5, 2〉 – 〈2, 3〉 = 〈3, –1〉. De esta manera, podemos escribir la ecuación vectorial de la recta como: 〈x, y〉 = 〈2, 3〉 + λ〈3, –1〉. O bien, como: 〈x, y〉 = 〈2 + 3λ, 3 – λ〉 con λ ∈ R.

Veamos ahora qué sucede si λ = 1/2 Veamos ahora qué sucede si λ = 1/2 . Al remplazar en la ecuación: Observa que, por otra parte, el punto medio del segmento AB está dado por: lo que coincide con el punto correspondiente a remplazar λ = 1/2 en la ecuación vectorial de la recta.

Ejemplo 3: Si la recta L tiene vector director es d = 〈6, 4〉 y el punto A(5, 7) pertenece a ella, ¿cuál es la ecuación vectorial de L?, ¿cuál es su ecuación cartesiana? Para determinar la ecuación vectorial de la recta, observamos que la recta L pasa por el punto A, luego, podemos usar como el vector posición: 〈x, y〉 = 〈5, 7〉 + λ〈6, 4〉 con λ, número real. Entonces, para determinar un punto B de la recta L, asignamos un valor cualquiera a λ y lo remplazamos en la ecuación vectorial. Por ejemplo, si λ = 2: b =〈5, 7〉+ 2·〈6, 4〉=〈5, 7〉+〈12, 8〉=〈17, 15〉 Luego, el punto B resultante es (17, 15).

Finalmente, calculamos la ecuación cartesiana de la recta, ya sea a partir de los puntos A y B, o bien, dados un punto de ella y su pendiente. Podemos obtener el valor de la pendiente m a partir de las coordenadas del vector director como Entonces, remplazando en la ecuación punto- pendiente, obtenemos que la recta es y – 7 = 4/6·(x – 5). Y, ordenando, la recta es: 2x – 3y + 11 = 0.

Ejemplo 4:Dada la ecuación vectorial de la recta: 〈x, y〉 = 〈5, 2〉 + λ〈3, 1〉, determina la correspondiente ecuación cartesiana. Para esto, despejamos λ en cada una de las ecuaciones. Luego, igualamos las ecuaciones y ordenamos la ecuación:

Ejemplo 5: Dada la ecuación cartesiana de la recta: 4x + 3y + 7 = 0, determina la correspondiente ecuación vectorial. Primer paso: para obtener el vector posición se requiere determinar un punto que pertenezca a la recta; por ejemplo, podemos calcular el valor de y remplazando en la ecuación de la recta un valor para x. Si x = –1, entonces 4 · (–1) + 3y + 7 = 0 3y + 3 = 0 y = –1 Luego, el vector posición es 〈–1, –1〉.

Segundo paso: para obtener el vector director podemos calcular la pendiente de la recta y, luego, escribir el vector director. Es decir, , luego un vector director es Por lo tanto, una ecuación vectorial de la recta es: 〈x, y〉 = 〈–1, –1〉 +λ〈3, –4〉.

definición

La ecuación de la recta en el plano se puede representar mediante: la ecuación cartesiana de la recta: ax + by + c = 0; la ecuación vectorial de la recta: donde es el vector director de la recta, es el vector posición y λ es su parámetro. Si d es un vector director cuyas coordenadas son , la pendiente m de la recta correspondiente está dada por.

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