Matemáticas 2º Bach. CCSS LÍMITES DE FUNCIONES U.D. 6 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS

Matemáticas 2º Bach. CCSS CÁLCULO DE LÍMITES U.D. 6.5 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. CCSS

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Indeterminadas Para calcular el límite de una función f(x) en un punto, x=a, se sustituye la variable de la función por el valor al que tiende, a, obteniendo f(a), que será el límite buscado. Pero puede ocurrir que el resultado no sea inmediato por encontrarnos con indeterminaciones que hay que resolver. Algunas de dichas indeterminaciones son: Cada indeterminación lleva su particular procedimiento para su resolución. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Indeterminada [0.oo] Sabemos que 0.k = 0 siempre. Sabemos que oo.k = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el producto 0.oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0.oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplican las expresiones, se factoriza numerador y denominador y se simplifica la expresión: Lím f(x). Lím g(x) = [0.oo] = Lím f(x).g(x) = … = L xa xa xa Para ello sabemos que el límite de un producto es el producto de los límites ( Propiedad operativa de los límites ) cuando la variable x tiende al mismo valor. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 4 4

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo 1 lím [x/(x – 1)].[(x2– 1)/x] = [1/0].[0/1] = [oo.0] x1 x (x+1).(x – 1) x+1 1+1 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑------------- = lím ------ = ---- = 2 x1 (x – 1).x x1 1 1 Ejemplo 2 1 x3 + 1 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑ . Lím ---------- = --- . --- = - [oo.0] x -1 x +1 x- 1 x 0 -1 Resolvemos la indeterminación: (x+1).(x2 – x +1) (x2 – x +1) lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = lím --------------- = x- 1 (x +1).x x- 1 x (-1)2 – (-1) + 1 1 + 1+ 1 3 = ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = ------------- = ---- = - 3 - 1 -1 -1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Indeterminada [oo/oo] Sabemos que oo / k = oo siempre. Sabemos que k / oo = 0 siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [oo / oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y denominador entre la potencia de x elevada al mayor de los exponentes que presente dicha variable. N(x) / xm Lím f(x) = Lím -------------- xa xa D(x) / xm Donde m es el mayor de los grados de los polinomios N(x) y D(x) Nota: Es la misma indeterminación [oo / oo] , [-oo / oo], [ oo / - oo] @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo 1 2.x3 - 3x + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = ------------------------ = [-----] xoo x3 – x2 - 5 oo3 – oo2 – 5 oo Se divide numerador y denominador entre x elevada al mayor de los exponentes ( x3 ) 2 - 3 / x2 + 1 / x3 2 – 3/oo + 1/oo 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = ----------------------- = --------------- = 2 / 1 = 2 xoo 1 – 1 / x – 5 / x3 1 – 1/oo – 5/oo 1 – 0 – 0 Ejemplo 2 1 x3 + 1 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑ . Lím ---------- = --- . --- = - [oo.0] x -1 x +1 x- 1 x 0 -1 Resolvemos la indeterminación: (x+1).(x2 – x +1) (x2 – x +1) lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = lím --------------- = x- 1 (x +1).x x- 1 x (-1)2 – (-1) + 1 1 + 1+ 1 3 = ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = ------------- = ---- = - 3 - 1 -1 -1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Indeterminada [0 / 0] Sabemos que 0 / k = 0 siempre. Sabemos que k / 0 = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente 0 / 0, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0 / 0] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se factoriza numerador y denominador [ Por Ruffini si hace falta ] y se simplifica la expresión resultante. (x-a) . C1(x) C2(x) Lím f(x) = [ 0 / 0 ] = Lím ------------------ = Lím --------- xa xa (x-a). C2(x) xa C2(x) Nota: Si el límite último vuelve a dar indeterminación, se volvería a realizar lo mismo. Observar que siempre “a” es una raíz de los polinomios a factorizar. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo 1: x3– 8 8 – 8 0 lím ------‑‑‑‑‑‑ = -‑----- = [---] = x2 x – 2 2 – 2 0 Factorizando por Rufinni: 1 0 0 - 8 2 2 4 8 1 2 4 0 (x -2) (x2 + 2x + 4 ) lím ------‑‑‑‑‑‑‑‑----------- = x2 (x- 2) = 4+2·2+4 = 12 Ejemplo 2: x3 - 2 √ 2 2 √ 2 - 2 √ 2 lím ------‑‑‑‑‑-- = ‑----------------- = x √ 2 x2 - 2 2 – 2 =[0/0]  Factorizando: 1 0 0 - 2 √ 2 √ 2 √ 2 2 2 √ 2 1 √ 2 2 0 (x - √ 2) (x2 + √ 2x + 2 ) lím ------‑‑‑‑‑‑‑‑------------------ = x √ 2 (x- √ 2) (x + √ 2 ) = (2 + 2 + 2) / (2 + √ 2) = 6/(2+ √2) Racionalizando: 6·(2 – √2)/(2 – √2) (2 + √2) = = (12 – 6·√2) / (4 – 2) = 6 – 3·√2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Indeterminada [1oo] Sabemos que 1k = 1 siempre. Sabemos que koo = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con 1oo , no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [1oo ] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello sabemos que siempre el resultado va a ser eλ , con lo cual sólo queda calcular λ λ = Lím ( base – 1 ). exponente xa Y el límite sería, si le hay : L = eλ @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo 1: Ejemplo 2: @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.