UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Unidad Curricular: Matemática I Elaborado por: Ing. Ronny Altuve Raga, Esp. Ciudad Ojeda, Marzo 2017 UNIDAD IV FUNCIONES

INDICADOR DE LOGRO Unidad curricular: Matemática I Conocer, evaluar y graficar las funciones elementales, estudiando dominio, rango, intersecciones con los ejes coordenados, simetrías, desplazamientos según los ejes y crecimiento.

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS Unidad curricular: Matemática I Plano Cartesiano El sistema de coordenadas rectangulares es el gráfico más empleado para representar una función, para ello se requiere el trazado de una línea horizontal y de una vertical. Ambas son rectas numéricas y se intersecan en sus respectivos puntos cero. I +,+ II -,+ IV +,- III -,- x y

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Unidad curricular: Matemática I Representar gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas los siguientes puntos: A (3, 2) B (-1, .2) C (-2, 3) D (1, -2) E (5, 8) F ( 1 2 , 1 4 ) G ( 0, -5) H ( 2 , 3 ) I (0, 3) Dibujar el triángulo cuyos vértices son A (0, 6); B (3, 0); C ( -3, 0) Dibujar el rectángulo cuyos vértices son A (1, -1); B (1, -3); C (6, -1); D (6, -3)

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UN PLANO Unidad curricular: Matemática I DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE UN PLANO La distancia entre los puntos A (x₁ , y₁) y B (x₂ , y₂) viene dada por la expresión: 𝒅 (𝑨,𝑩) = 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 𝟐 COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Dado un segmento 𝐴𝐵 se llama punto medio de él al punto que está a igual distancia de los extremos. Para determinar las coordenadas del punto medio del segmento 𝐴𝐵 se usa la expresión: 𝑷 𝒎 = 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝟐 , 𝒚 𝟏 + 𝒚 𝟐 𝟐

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Unidad curricular: Matemática I 1. Dado los puntos A (2, 3); B (0, 0); C (1, 3), hallar d (AB); d (AC); d (BC) y encontrar el punto medio de cada segmento. 2. Hallar las coordenadas de P (x, y) que correspondan al punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A (-3, -6) y B (4, 8). 3. Los vértices de un cuadrilátero están ubicados en los puntos siguientes: M(0, 7); N ( 3, 6); O (6, 5) y P (-5, 2). Calcular las coordenadas de los puntos medios de MN, NO, OP y PM. 4. Se tiene un triángulo cuyos vértices vienen dados así: A(1, 2); B(4, 2) y C(1, 4). Calcular: a) El área ; b) el punto medio de la hipotenusa.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Unidad curricular: Matemática I En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende del valor de la segunda. Una función f de un conjunto A a un conjunto B, es un relación que asigna a cada elemento de “x” de A un elemento único “y” de B. En dos conjuntos cualesquiera denominados A y B, todo elemento de A se relaciona con un elemento de B. Dominio x Rango y f: A B La letra F simboliza la operación que se debe hacer. La “x” es la variable independiente y representan los distintos valores que se asignan y constituyen el dominio de la función. La “y” es la variable dependiente y representa los distintos valores obtenidos y constituyen el recorrido de la función o rango de la función

FUNCIONES Unidad curricular: Matemática I Por ejemplo: Si un metro de tela cuesta BsF.1500, el costo de una pieza de tela dependerá del número de metros que tenga la pieza. ¿De qué depende en este caso el costo de la pieza? Del mismo modo, la duración T de un viaje en tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que se desplace el tren. Siempre que una cantidad variable depende de otra se que dice que es función de ésta última.

TIPOS DE FUNCIONES Unidad curricular: Matemática I Funciones 𝐴𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟á𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑎𝑠 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑒 1𝑒𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑅𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑇𝑟𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑟í𝑡𝑚𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑇𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠

TIPOS DE FUNCIONES Unidad curricular: Matemática I Función Constante Función Identidad Función Afín

TIPOS DE FUNCIONES Unidad curricular: Matemática I Función Cuadrática Función Potencial

CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Unidad curricular: Matemática I Dominio de una función: Conjunto de valores de x que hacen que la función exista dentro del campo de los números reales. Rango de una función: Conjunto de valores de Y que son imágenes de los valores de X. Gráfica de una función: Conjunto de puntos (x, y), donde: {(x, y) /x є Df, y є R} Y X Y X NO FUNCIÓN SI FUNCIÓN

CARACTERÍSTICAS DE FUNCIONES Unidad curricular: Matemática I Y X (a, 0) (0, a) Corte: En un plano cartesiano todos los puntos que están sobre el eje X tienen como abscisa a “a” y como ordenada 0 y viceversa. Crecimiento y Decrecimiento: Y X x₁ x₂ f(x₁) f(x₂) Y X x₁ x₂ f(x₁) f(x₂) FUNCIÓN CRECIENTE FUNCIÓN DECRECIENTE

CARACTERÍSTICAS DE FUNCIONES Unidad curricular: Matemática I SIMETRÍA Función Par: Una función es par si f(x) = f(-x). SIMÉTRICA AL EJE Y 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +1 𝑓 −𝑥 = − 𝑥 2 +1= 𝑥 2 +1 𝑓 𝑥 =2𝑥+5 𝑓 −𝑥 = −2𝑥 +5= -2𝑥+5 ES PAR NO ES PAR Función Impar: Una función es par si f(x) = -f(-x). SIMÉTRICA AL ORIGEN 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −𝑓 −𝑥 =− (−𝑥) 3 = 𝑥 3 𝑓 𝑥 =2𝑥+5 −𝑓 −𝑥 =−(−2𝑥+5)= 2𝑥−5 ES IMPAR NO ES IMPAR

FUNCIÓN AFÍN Unidad curricular: Matemática I Función Afín: Se define como función afín a toda expresión de la forma: f(x) = mx + b donde m, b є R. La Recta y sus Pendientes: Si m = 0 la recta es horizontal, siendo α=0 (Pendiente igual a cero) Si m > 0 la recta estará inclinada hacia la derecha 0° < α < 90° (Pendiente positiva) Si m < 0 la recta estará inclinada hacia la izquierda 90° < α < 180° (Pendiente negativa) Y X x₁ x₂ f(x₁) Y X x₁ x₂ f(x₁) f(x₂) Y X x₁ x₂ f(x₁) f(x₂) a b c

ECUACIÓN DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA Unidad curricular: Matemática I Sean P₁ (x₁ , y₁) y P₂ (x₂ , y₂) dos puntos sobre la recta. La pendiente de la recta viene dada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia entre las abscisas. 𝑚= 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1

DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA FORMA PUNTO PENDIENTE DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA Unidad curricular: Matemática I Sean una recta de pendiente conocida m y que pasa por el punto P₁ (x₁ , y₁). Si P (x, y) es cualquier otro punto con x, entonces P está sobre la recta sólo si la pendiente de la recta que pasa por P₁ y P es m (son colineales) es decir: Que puede escribirse así: 𝑚= 𝑦− 𝑦 1 𝑥− 𝑥 1 𝑦− 𝑦 1 =𝑚 𝑥− 𝑥 1

EJERCICIO DE APLICACIÓN Unidad curricular: Matemática I 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa a través del punto P (2, -3) con una pendiente m = - 4 2. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (2, 3) y tiene pendiente m = 3 3. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P₁ (-3, 4) y P₂(-2, 0) 4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P₁ (3, 0) y P₂ (0, 4). 5. Dada la siguiente función: Y = -5x – 6 Y = 2/3x +7 Estudie todas las funciones anteriores y analice: dominio, puntos de corte con los ejes coordenados, crecimiento y decrecimiento, simetría y construya su gráfica.

FUNCIÓN CUADRÁTICA Unidad curricular: Matemática I Función Cuadrática: Se define como función cuadrática a toda expresión de la forma f 𝑥 = 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐, donde a, b y c son números reales y a≠0 Representación Gráfica: La representación gráfica de la función cuadrática en el plano real, es una curva llamada parábola. x y x y a > 0 a < 0

FUNCIÓN CUADRÁTICA Unidad curricular: Matemática I Dominio de la función: El dominio de la función es el conjunto de los números reales (R). Rango de la función: Se estudiará en términos del valor de “a”: Si a > 0, el Rg: 𝑓= −𝐷 4𝑎 ,+∞) Si a < 0, el Rg: 𝑓= −∞, −𝐷 4𝑎 Siendo “D” el discriminante de la función cuadrática y se calcula: 𝐷= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 El discriminante es una expresión que nos permite determinar los diferentes tipos de soluciones que existen en una ecuación. Dependiendo del resultado es el tipo de soluciones encuentras: D > 0 hay 2 diferentes soluciones reales. D = 0 la soluciones son repetidas, o sea las mismas. D < 0 hay 2 diferentes soluciones y son complejas o imaginarias.

FUNCIÓN CUADRÁTICA Unidad curricular: Matemática I Corte con los ejes coordenados: Con el eje Y: Haciendo x = 0, se obtiene que la parábola corta al eje Y en el punto donde Y vale c (Y = c) Con el eje X: Los cortes en el eje X, se analizan en función del discriminante y la expresión: 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Vértice de la Parábola: El vértice de la parábola se halla mediante la fórmula: 𝑉= −𝑏 2𝑎 , −𝐷 4𝑎

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Unidad curricular: Matemática I En la funciones cuadráticas siguientes, realice su estudio y grafique: 𝑦= 𝑥 2 −4𝑥+3 𝑦= 4 5 𝑥 2 −6𝑥+9

FUNCIÓN POTENCIAL Unidad curricular: Matemática I Función Potencial: Es de la forma 𝑓 (𝑥) =𝑎 𝑏𝑥+ℎ 𝑛 +𝑘, donde ℎ 𝑏 y k representan el desplazamiento horizontal y vertical de la función respectivamente y n ∈ Z; n puede ser par o impar. Representación Gráfica: La representación gráfica de la función potencial depende del valor de “n”. Si el exponente de la función potencial es IMPAR las gráficas se parecen a una cúbica. Si el exponente de la función potencial es PAR las gráficas se parecen a una función cuadrática.

FUNCIÓN POTENCIAL CON EXPONENTE IMPAR Unidad curricular: Matemática I F(x)= x³ F(x)= x⁵ F(x)= x¹¹

FUNCIÓN POTENCIAL CON EXPONENTE PAR Unidad curricular: Matemática I F(x)= x³ F(x)= x⁵ F(x)= x¹¹ F(x)= x² F(x)= x⁴ F(x)= x⁶