Intersección de parábola y circunferencia x

Revisión del estudio individual El gráfico representa una circunferencia tangente a los ejes coordenados. Si una parábola tiene vértice en su centro y el foco es el punto de tangencia con el eje x. Escribe la ecuación de ambas curvas. x y O 3

Ecuación de la circunferencia: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 3 3 9 V(3;3) F(3;0) p = d(V;F) = 3 (x – h)2= – 4p(y – k) x y O 3 (x – 3)2= – 12(y – 3) V F

¿En cuántos puntos se puede interceptar la parábola con la circunferencia? Ningún punto y 1 punto 2 puntos 3 puntos 4 puntos x

Ejercicio Halla los puntos de intersección de las siguientes curvas: a) y2 = 4x ; (x – 1)2 + y2 = 25 b) (x – 4)2 + (y – 1)2 = 25 ; (y – 1)2 = x + 1 c) x2 + y2 = 4 ; y2 = 12(x – 3) d) x2 + y2 = 4 ; y2 = 8(x + 3)

a) (1) y2 = 4x (2) (x – 1)2 + y2 = 25 Sustituyendo (1) en (2) tenemos: (x – 1)2 + 4x = 25 x2 – 2x + 1 + 4x = 25 x2+ 2x – 24 = 0 (x + 6)(x – 4) = 0 x + 6 = 0 ó x – 4 = 0 x1 = – 6 x2 = 4

Las curvas se intersecan en los puntos (4;4) y (4; –4) sustituyendo x1 = – 6 en (1) y2 = 4( – 6) y2 = –24 ¡Imposible! sustituyendo x2 = 4 en (1) y2 = 4(4) Las curvas se intersecan en los puntos (4;4) y (4; –4) y2 = 16 y =  16 y = 4

b) (x – 4)2 + (y – 1)2 = 25 (y – 1)2 = x + 1 (1) (2) Sustituyendo (2) en (1) tenemos: (x – 4)2 + x + 1 = 25 x2 – 8x + 16 + x + 1 = 25 x2 – 7x – 8 = 0 (x – 8)(x + 1) = 0 x – 8 = 0 ó x + 1 = 0 x1 = 8 x2 = – 1

Se cortan en los puntos (8;4) ; (8;–2) ; (–1;1) sustituyendo x1 = 8 en (2) Se cortan en los puntos (8;4) ; (8;–2) ; (–1;1) (y – 1)2 = 8 + 1 (y – 1)2 = 9 sustituyendo x2 = –1 en (2) y2 – 2y + 1 = 9 y2 – 2y – 8 = 0 (y – 1)2 = –1+1 (y – 4)(y + 2) = 0 (y – 1)2 = 0 y1 = 4 ó y2 = –2 y – 1 = 0 y3 = 1 (8;4) ; (8; –2) (–1;1)

c) x2 + y2 = 4 (1) y2 = 12(x – 3) (2) Sustituyendo (2) en (1) tenemos: x2 + 12(x – 3) = 4 x2 + 12x – 36 = 4 x2 + 12x – 40 = 0 D = b2 – 4ac = 122 – 4(1)(– 40) = 144 + 160 = 304 > 0

x1;2= – b   D 2a – 12   304 2 = – 12  17,4 2  x2= – 12 – 17,4 2 x1= – 12 + 17,4 2 x1= 2,7 x2= – 14,7 Sustituyendo x1 en (2) y2 = 12(2,7 – 3) = 12(–0,3) = –3,6 ¡IMPOSIBLE!

Sustituyendo x2 en (2) y2 = 12(– 14,7 – 3) = 12(–17,7) = – 212,4 ¡IMPOSIBLE! La parábola no tiene puntos de intersección con la circunferencia.

El sistema no tiene solución d) x2 + y2 = 4 y2 = 8(x + 3) (1) (2) La parábola no tiene puntos de intersección con la circunferencia. Sustituyendo (2) en (1) tenemos: x2 + 8(x + 3) = 4 x2 + 8x + 24 = 4 x2 + 8x + 20 = 0 D = b2 – 4ac = 82 – 4(1)(20) El sistema no tiene solución = 64 – 80 = – 16 < 0

Para el estudio individual 1. Representa gráficamente las curvas analizadas en el ejercicio de la clase.