La sucesión de Fibonacci Por Miguel Ángel Díaz

Fibonacci o Leonardo de Pisa Nacido en Pisa (Italia) en 1170

Biografía de Leonardo de Pisa: Leonardo de Pisa o Fibonacci, nació en 1170 y murió en 1250. Fue un matemático italiano muy importante, famoso por inventar la sucesión que tiene su nombre, la sucesión de Fibonacci, que surgió por el estudio la cría de conejos, y por su papel en la popularización del sistema de numeración posicional en base 10 (o decimal) en Europa. Fibonacci viajo al norte de África, y allí conoció las técnicas de numeración árabes, que las trasladó a Europa. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro del ábaco o libro de los cálculos). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. En este libro también describe el cero, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad…

La cría de conejos: Fibonacci estudió el problema de la reproducción de los conejos de la siguiente manera: ¿cuántas parejas de conejos habrá en una granja luego de 12 meses, si se coloca inicialmente una sola pareja y se parte de las siguientes premisas: Los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes. En cuanto alcanzan la madurez sexual los conejos se aparean y siempre resulta preñada la hembra. El periodo de gestación de los conejos es de un mes. La hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos opuestos. Los conejos tienen una moral y un instinto de variedad genética muy relajados y se aparean entre parientes (hay que tener en cuenta que no es un problema real).   El proceso de crecimiento de la población de conejos es mejor descrito con la siguiente ilustración.

¿Cuál es el siguiente número? La cría de conejos: ¿Cuál es el siguiente número?

La cría de conejos: ¡¡¡Efectivamente, el 8!!! Has descubierto que cada término de la serie de Fibonacci es la suma de los dos anteriores. Así obtenemos la serie: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … a0=1 a1=1 an= an-1 + an-2

SUCESIÓN DE FIBONACCI Y LA ESPIRAL DE DURERO A partir de la sucesión de Fibonacci se pueden construir una serie de rectángulos enlazados:empezamos por un cuadrado 1 por 1, luego 1 por 2, 2 por 3, 3 por 5, etc. Uniendo los vértices de los rectángulos se obtiene la espiral. Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes... Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza.

ESPIRALES EN LA NATURALEZA Cuando contamos el nº de espiras (hileras de espirales) en una piña encontramos que el nº total en cada sentido corresponde con dos números consecutivos de la sucesión de Fibonacci. En las margaritas también: 21 hacia un lado, 34 hacia el otro.

Sucesiones La sucesión de Fibonacci no es más que un ejemplo de sucesión recurrente. Vamos a enunciar algunos conceptos básicos sobre sucesiones y algunos ejemplos.

Sucesiones Una sucesión es un conjunto ordenado de números a1, a2, a3 … A cada elemento de la sucesión se le llama término. El término general de la sucesión se denomina an, donde n toma valores 1, 2, 3… Las sucesiones cuyos términos se obtienen operando con términos anteriores (por ejemplo, Fibonacci) se denominan recurrentes.

Sucesiones A partir del término general es muy sencillo construir una sucesión. Ejercicio 1: escribe 4 términos de cada serie: an=n2 bn=2n cn=2n+1 dn=0,5n en=(n+1)(n+2) fn= fn-1+n, f1=3 gn= gn-1- gn-2, g1=1, g2=4

Sucesiones Sin embargo, dada una sucesión no es tan sencillo encontrar su término general o su ley de recurrencia. Ejercicio 2: descubre el criterio con el que se han formado estas sucesiones y escribe su término general cuando sea posible. 2, 4, 6, 8, 10… -2, 4, -6, 8, -10… 4, 7, 10, 13… 1, 8, 27, 64… 1, 4, 5, 9, 14… 10, 100, 1000…

Aquiles y la tortuga Por último, una paradoja: Aquiles, llamado "el de los pies ligeros" y el más hábil guerrero de los Aqueos, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado un pequeño trecho, pongamos la mitad. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él. ¿Es esto cierto?

Aquiles y la tortuga Por último, una paradoja: Aquiles, el más hábil guerrero de los Aqueos, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado un pequeño trecho, pongamos la mitad de lo que él ha recorrido. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él. ¿Es esto cierto?

Aquiles y la tortuga La paradoja de Aquiles y la tortuga puede ser planteada matemáticamente usando series infinitas. En este caso la siguiente: ¿Se pueden sumar infinitos números?