Apuntes de Matemáticas 1 U.D. 3 * 1º BCT SUCESIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

PROGRESIONES ARITMÉTICAS U.D. 3.2 * 1º BCT PROGRESIONES ARITMÉTICAS @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Progresiones aritméticas Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior más una constante, d, llamada DIFERENCIA a =  a , a , a , a , .... , a , ... , a , a  n 1 2 3 4 k n‑1 n Deducimos la fórmula principal: a = a 1 1 a = a + d 2 1 a = a + d = a + 2.d 3 2 1 a = a + d = a + 3.d 4 3 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 …………………..………. a = a + d = a + (n ‑1).d n n‑1 1 O sea: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De ella se despeja en caso necesario a , d o n. 1 a = a - (n – 1 ).d ,, d = (a - a ) / (n – 1 ) 1 n n 1 n = [ (a - a ) / d ] + 1 n 1 En la resolución de sistemas un método muy práctico es poner cualquier término en función del primero y de la diferencia. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 EJEMPLO_1 En una PA el primer término vale 5 y la diferencia es 3. Hallar el término séptimo y el término duodécimo. Tenemos: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De donde: a = a + ( 7 – 1 ).3 = 5 + 6.3 = 5 + 18 = 23 7 1 a = a + ( 12 – 1 ).3 = 5 + 11.3 = 5 + 33 = 38 12 1 La PA sería: a = 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, … n @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 EJEMPLO_2 En una PA el primer término vale 5 y la diferencia es - 4. Hallar el término quinto y el término undécimo. Tenemos: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De donde: a = a + ( 5 – 1 ).(-4) = 5 + 4.(-4) = 5 - 16 = - 11 5 1 a = a + ( 11 – 1 ).(-4) = 5 + 10.(-4) = 5 - 40 = - 35 11 1 La PA sería: a = 5, 1, -3, -7, -11, -15, -19, -23, - 27, - 31, - 35, … n @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 EJEMPLO_3 En una PA el noveno término vale 5 y la diferencia es 7. Hallar el primer término. Tenemos: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De donde: a = a - ( 9 – 1 ).7 = 5 - 8.7 = 5 - 56 = - 51 1 9 La PA sería: a = - 51, - 44, - 37, - 30, - 23, - 16, - 9, - 2, 5, … n @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 EJEMPLO_4 En una PA el séptimo término vale 5 y el primero vale - 37. Hallar lo que vale la diferencia. Tenemos: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De donde: a - a = ( 7 – 1 ).d  d = [ 5 – (- 37)] / 6 = 42 / 7 = 6 7 1 La PA sería: a = - 37, - 30, - 23, - 16, - 9, - 2, 5, … n @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 EJEMPLO_5 En una PA el último término vale 41, el primero vale – 3, y la diferencia vale 2. Hallar el número de términos. Tenemos: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 De donde: a - a = ( n – 1 ).2  41 – (-3) = (n – 1 ).2  44 = (n – 1 ).2  22 = n – 1  n = 23 La PA sería: a = - 3, - 1, 1, 3, 5, 7, …, 41 n @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 EJEMPLO_6 En una PA la suma de los tres primeros términos vale 6 y la diferencia es – 3. Hallar la progresión. Tenemos: a = a + ( n ‑ 1 ).d n 1 Pero sólo conocemos la diferencia. No podemos usarla. S = a1 + a2 + a3 = (a2 – d) + a2 + (a2 + d) = 3.a2 Como 6 = 3.a2  a2 = 2 a1 = a2 – d = 2 – (– 3) = 5 a3 = a2 + d = 2 + (– 3) = – 1 La PA sería: a = 5 , 2 , – 1 , … n @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 EJEMPLO_7 Intercalar cuatro medios diferenciales entre los números 3 y 23, Medios diferenciales son los números que colocados en un cierto orden la diferencia entre ellos es una constante. Los cuatro números junto con los dos dados formarán una PA. Conocemos: a1 = 3 ; n = 4 + 2 = 6 ; an=a6 = 23 a6 = a1 + 5.d 23 = 3 + 5.d  23 – 3 = 5.d  d = 20 / 5 = 4 a2 = 3 + 4 = 7; a3 = 7 + 4 = 11; a4 = 11 + 4 = 15; a5 = 15 + 4 = 19 La PA sería: a = 3 , 7 , 11 , 15 , 19 , 23 n @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1

Apuntes de Matemáticas 1 EJEMPLO_8 Intercalar cinco medios diferenciales entre los números 3 y – 7, Medios diferenciales son los números que colocados en un cierto orden la diferencia entre ellos es una constante. Los cinco números junto con los dos dados formarán una PA. Conocemos: a1 = 3 ; n = 5 + 2 = 7 ; an=a7 = – 7 a7 = a1 + 6.d – 7= 3 + 6.d  – 7 – 3 = 6.d  d = – 10 / 6 = – 5 / 3 a2 = 3 + (– 5 / 3) = 4 / 3 ; a3 = (4 / 3) + (– 5 / 3) = – 1 / 3; a4 = (– 1 / 3) + (– 5 / 3) = – 2 ; a5 = – 2 + (– 5 / 3) = – 11 / 3 ; a6 = (– 11 / 3) + (– 5 / 3) = – 16 / 3 La PA sería: a = 3 , 4/3 , -1/3 , – 2 , -11/3 , -16/3 , -7 n @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1