Clase 5: Medidas de Variación Bibliografía: Botella et al. Cap. 5. Ficha de Entropía

Medidas de Variación o Dispersión Entropía (H): Medida de variación utilizada para variables cualitativas o cuasicuantitativas. Cuantifica la incertidumbre que tenemos sobre a qué valor pertenecerá una observación elegida al azar. A mayor Entropía, más dispersión de los datos en las distintas categorías. A menor Entropía, menor dispersión, datos más concentrados.

Variabilidad o Dispersión

Amplitud Total (At): para variables cuasicuantitativas y cuantitativas. También llamada Rango o Recorrido At: Xmax – Xmin Desventaja: es muy sensible a los valores extremos. Practica 3. Ejer. 18. Grupo Inactivo: At: 30 – 19: 11 Grupo Activo: At: 29 – 18 : 11

Variabilidad o Dispersión

Desviación Media: para variables cuantitativas DM = ∑l Xi – X I n Por la 1° propiedad de la media, la suma de las puntuaciones diferenciales es igual a 0. La DM resuelve este problema sumando el módulo de las puntuaciones diferenciales (es decir, su valor absoluto)

Varianza y Cuasivarianza: para variables cuantitativas. S2 = ∑( Xi – X ) 2 n Por la 1° propiedad de la media, la suma de las puntuaciones diferenciales es igual a 0. La S2 resuelve este problema sumando el cuadrado de las puntuaciones diferenciales. S´2= ∑( Xi – X ) 2 n - 1

Varianza y Cuasivarianza cuando los datos están agrupados S2 = ∑ni. (Xi – X) 2 n S´2= ∑ni. (Xi – X) 2 n - 1

Ej. Práctica 3.20. Tabla del Grupo 1 Xi 10 9 8 7 6 5 ni 1 2 3 4 ni . Xi 10 18 24 28 12 ni . (Xi – X)2 7.34 5.85 1.5 0.32 3.32 10.48 X = 102 / 14 = 7.29 S2 = 28.81 / 14 = 2.06

Desvío y Cuasidesvío Típico o Estándar: para variables cuantitativas S = S2 S = ∑ni. (Xi – X) 2 n S´= ∑ni. (Xi – X) 2 n - 1

Ej. Práctica 3.20. Tabla del Grupo 1 Xi 10 9 8 7 6 5 Xi 1 2 3 4 ni . Xi 10 18 24 28 12 ni . (Xi – X)2 7.34 5.85 1.5 0.32 3.32 10.48 X = 102 / 14 = 7.29 S2 = 28.81 /14 = 2.06 S= 2.06 = 1.44

Propiedades de la S2 y el S 1) La varianza y la desviación típica son valores esencialmente positivos S2 ≥ 0 S ≥ 0 2) Si sumamos una constante a un conjunto de puntuaciones, la varianza y el desvío típico no se alteran. 3) Si multiplicamos por una constante un conjunto de puntuaciones, la varianza quedará multiplicada por el cuadrado de la constante, y la desviación típica por el módulo de la constante. Si Yi = k . Xi entonces S2y = k2 . S2x y Sy = I k I . Sx

Práctica 3 Ejer. 20. b) Si a las calificaciones originales se las multiplica por 10, cómo se modifican los resultados de la media, la varianza y el desvío típico? X= 7,29 . 10 = 72,9 S2 = 2,06 . 102 = 206 S = 1,44 . 10 = 14,4

X = 12 / 3 = 4 S´ = 2 Xi (peso) X1: 2 X2: 4 X3: 6

Coeficiente de Variación (C. V Coeficiente de Variación (C.V.): para variables cuantitativas con nivel de medición de razón C.V. = S . 100 X Para comparar la variabilidad de dos grupos con medias muy distintas, y hasta con medidas de medición distinta, ya que es adimensional. Es un índice también de representatividad de la media, a mayor C.V más variabilidad en los datos, y menos representativa la media del total.

X = 12 / 3 = 4 S´ = 2 CV = (2/4) . 100 CV= 50 Xi (peso) X1: 2 X2: 4 X3: 6 X = 3012 / 3 = 1004 S = 2 CV = (2/1004) .100 CV = 0,19 X1: 1002 X2: 1004 X3: 1006

Amplitud Semi-Intercuartil: Q = Q3 – Q 1 2 . Utilizada cuando hay valores extremos que pudiesen tergiversar a la media aritmética.

Representaciones Gráficas de la Variabilidad Diagramas de Cajas y Bigotes (“box plot”)

Propiedades de las Distribuciones de Frecuencia (en Cap. 2 de Botella) 1) Tendencia Central 2) Variabilidad 3) Curtosis 4) Asimetría o Sesgo

Curtosis Remite al grado de apuntalamiento de la distribución de frecuencias.

Asimetría o Sesgo Asimetría Negativa Simetría Asimetría Positiva A: (X – Mo) / S

Medidas de Variabilidad Resumiendo: Tipo de Variable Medidas de Posición M. Tendencia Central Medidas de Variabilidad Gráficos Cualitativa  Mo H .Pictograma .Diag. Rectángulos Cuasicuantitativa  Mo - Md H – At - Q Cuantitativa Mo – Md - Media At – DM – S2 – S – CV (nivel de razón) – Q – ET .Diag. de Barras (discretas) .Histograma (continuas) .Polígono de Frecuencia (ambas)