Economía de los Recursos Naturales y Mercados de Minerales Curso Gestión y Economía Minera Profesor Octavio Araneda Osés

Temas Optimización – problemas contínuos Modelo de Hotelling Industria competitiva Monopolio Taller Planificación Económica

Problemas Contínuos Sea el problema Donde: x(t): variable de estado (eg reservas remanentes) y(t): variable de control (eg producción en t) a y T están dados

El Hamiltoniano se define como: Se puede demostrar que la condición de máximo está dada por:

Condiciones de transversalidad Dependiendo de los grados de libertad del problema, la condición de transversalidad cambia. La condición de transversalidad depende de si el tiempo terminal (T) o el estado terminal (x(T)) están dados o son libres. El problema anterior se clasifica como “tiempo terminal fijo, estado terminal libre” (T está dado, pero x(T) no lo está) Si el tiempo terminal está libre, y el estado terminal también, la condición que se agrega es: Si el problema tiene tiempo terminal libre, y estado terminal fijo, la condición de transversalidad es H(T)=0, y se elimina la condición λ(T)=dF/dx Para el caso de tiempo terminal fijo, estado terminal fijo (T y x(T)=b dados), la única condición de transversalidad que queda es x(T)=b

Ejercicio Considere el siguiente problema: Encuentre q(t) y x(t)

Descontando a valor presente En tiempo contínuo, el valor presente de N(t) puede ser calculado como: La tasa de descuento continua r (instantánea), se relaciona con la tasa anual (asumiendo que t son años): Por ejemplo una tasa de descuento anual de 10%, es equivalente a una tasa contínua de 9,53%

Sea el problema

Se puede demostrar que la condición de máximo está dada por:

Modelo de Hotelling Hotelling (1931), asumió que el precio del mineral era una función de la forma: p(t) = p(0)ert “ya que para un productor, es indiferente producir a un precio p(0) ahora, que a un precio p(0)ert después de un tiempo t” Bajo competencia perfecta, la extracción va estar determinada por la función de demanda (en este análisis se asume costo de producción nulo) q(t) =D(p(t)) Las reservas totales, son R, por lo tanto, en un tiempo T, se van a agotar:

En t=T, q(T) = 0, y: Ecuación que permite determinar el tiempo T en que se logra en agotamiento, y con ello la cantidad producida en cada período

Caso Monopolista El monopolista trata de maximizar su beneficio: Donde P(q(t)) es la inversa de la función de demanda D(p(t)) La condición de consumo de reservas es: El Hamiltoniano de valor corriente es:

El monopolista extrae mineral de manera que el ingreso marginal crezca a la tasa de interés

Caso monopolista – Demanda lineal

Comparación industria competitiva v/s monopolista La industria competitiva inicialmente explota el recurso a una tasa mayor y también agota el recurso más rápido que el productor monopólico. El monopolista restringe la producción para mantener un precio mayor

Las trayectorias de los precios son: La trayectoria del monopolio parte a un valor mayor, pero en un cierto período se hace menor que el de la industria competitiva

Ejercicio Calcule las trayectorias de producción y precios para una industria competitiva y un productor monopólico: a=100 b=10 r=0,1 R=1000 Grafique